Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13476 / 5268
↖ ↑ ↗
← N 53.904338°
E116.103516°		 ← 1 439.42 m → N 53.904338°
E116.125489°		 →
↑
1 439.59 m
↓
↑
1 439.59 m
↓
N 53.891391°
E116.103516°		 ← 1 439.87 m →
2 072 499 m²		 N 53.891391°
E116.125489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822540283203125 y=0.321563720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822540283203125 × 214)
    floor (0.822540283203125 × 16384)
    floor (13476.5)     		tx = 13476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321563720703125 × 214)
    floor (0.321563720703125 × 16384)
    floor (5268.5)     		ty = 5268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13476 / 5268 ti = "14/13476/5268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13476/5268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13476 ÷ 214
    13476 ÷ 16384     		x = 0.822509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5268 ÷ 214
    5268 ÷ 16384     		y = 0.321533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822509765625 × 2 - 1) × π
    0.64501953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02638862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321533203125 × 2 - 1) × π
    0.35693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12133995591235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02638862} λ = 2.02638862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12133995591235))-π/2
    2×atan(3.0689637254776)-π/2
    2×1.25580225435571-π/2
    2.51160450871142-1.57079632675     		φ = 0.94080818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02638862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.103516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94080818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.904338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13476 KachelY 5268 2.02638862 0.94080818 116.103516 53.904338
    Oben rechts KachelX + 1 13477 KachelY 5268 2.02677212 0.94080818 116.125489 53.904338
    Unten links KachelX 13476 KachelY + 1 5269 2.02638862 0.94058222 116.103516 53.891391
    Unten rechts KachelX + 1 13477 KachelY + 1 5269 2.02677212 0.94058222 116.125489 53.891391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94080818-0.94058222) × R
    0.00022595999999997 × 6371000     		dl = 1439.59115999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94080818-0.94058222) × R
    0.00022595999999997 × 6371000     		dr = 1439.59115999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02638862-2.02677212) × cos(0.94080818) × R
    0.00038349999999987 × 0.589135180185098 × 6371000     		do = 1439.42131933939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02638862-2.02677212) × cos(0.94058222) × R
    0.00038349999999987 × 0.589317748617236 × 6371000     		du = 1439.86738486441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94080818)-sin(0.94058222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589135180185098-0.589317748617236)×R²
    abs(2.02677212-2.02638862)×0.000182568432138819×R²
    0.00038349999999987×0.000182568432138819×6371000²
    0.00038349999999987×0.000182568432138819×40589641000000     		ar = 2072499.29164797m²