Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13476 / 3474
↖ ↑ ↗
← N 80.382725°
W 31.948242°		 ← 204.09 m → N 80.382725°
W 31.937256°		 →
↑
204.06 m
↓
↑
204.06 m
↓
N 80.380890°
W 31.948242°		 ← 204.13 m →
41 652 m²		 N 80.380890°
W 31.937256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411270141601562 y=0.106033325195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411270141601562 × 215)
    floor (0.411270141601562 × 32768)
    floor (13476.5)     		tx = 13476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106033325195312 × 215)
    floor (0.106033325195312 × 32768)
    floor (3474.5)     		ty = 3474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13476 / 3474 ti = "15/13476/3474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13476/3474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13476 ÷ 215
    13476 ÷ 32768     		x = 0.4112548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3474 ÷ 215
    3474 ÷ 32768     		y = 0.10601806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4112548828125 × 2 - 1) × π
    -0.177490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55760202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10601806640625 × 2 - 1) × π
    0.7879638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4754614963797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55760202} λ = -0.55760202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4754614963797))-π/2
    2×atan(11.8871917433879)-π/2
    2×1.48686977546072-π/2
    2.97373955092143-1.57079632675     		φ = 1.40294322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55760202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.948242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40294322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.382725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13476 KachelY 3474 -0.55760202 1.40294322 -31.948242 80.382725
    Oben rechts KachelX + 1 13477 KachelY 3474 -0.55741027 1.40294322 -31.937256 80.382725
    Unten links KachelX 13476 KachelY + 1 3475 -0.55760202 1.40291119 -31.948242 80.380890
    Unten rechts KachelX + 1 13477 KachelY + 1 3475 -0.55741027 1.40291119 -31.937256 80.380890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40294322-1.40291119) × R
    3.20300000000717e-05 × 6371000     		dl = 204.063130000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40294322-1.40291119) × R
    3.20300000000717e-05 × 6371000     		dr = 204.063130000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55760202--0.55741027) × cos(1.40294322) × R
    0.000191750000000046 × 0.167066015560017 × 6371000     		do = 204.094401949276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55760202--0.55741027) × cos(1.40291119) × R
    0.000191750000000046 × 0.167097595315459 × 6371000     		du = 204.13298101803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40294322)-sin(1.40291119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167066015560017-0.167097595315459)×R²
    abs(-0.55741027--0.55760202)×3.15797554425734e-05×R²
    0.000191750000000046×3.15797554425734e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.15797554425734e-05×40589641000000     		ar = 41652.0787636128m²