Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13476 / 3353
↖ ↑ ↗
← N 80.602293°
W 31.948242°		 ← 199.48 m → N 80.602293°
W 31.937256°		 →
↑
199.48 m
↓
↑
199.48 m
↓
N 80.600499°
W 31.948242°		 ← 199.51 m →
39 795 m²		 N 80.600499°
W 31.937256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411270141601562 y=0.102340698242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411270141601562 × 215)
    floor (0.411270141601562 × 32768)
    floor (13476.5)     		tx = 13476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102340698242188 × 215)
    floor (0.102340698242188 × 32768)
    floor (3353.5)     		ty = 3353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13476 / 3353 ti = "15/13476/3353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13476/3353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13476 ÷ 215
    13476 ÷ 32768     		x = 0.4112548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3353 ÷ 215
    3353 ÷ 32768     		y = 0.102325439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4112548828125 × 2 - 1) × π
    -0.177490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55760202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102325439453125 × 2 - 1) × π
    0.79534912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.49866295579581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55760202} λ = -0.55760202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49866295579581))-π/2
    2×atan(12.1662163121535)-π/2
    2×1.48878585920746-π/2
    2.97757171841493-1.57079632675     		φ = 1.40677539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55760202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.948242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40677539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.602293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13476 KachelY 3353 -0.55760202 1.40677539 -31.948242 80.602293
    Oben rechts KachelX + 1 13477 KachelY 3353 -0.55741027 1.40677539 -31.937256 80.602293
    Unten links KachelX 13476 KachelY + 1 3354 -0.55760202 1.40674408 -31.948242 80.600499
    Unten rechts KachelX + 1 13477 KachelY + 1 3354 -0.55741027 1.40674408 -31.937256 80.600499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40677539-1.40674408) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dl = 199.476010000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40677539-1.40674408) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dr = 199.476010000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55760202--0.55741027) × cos(1.40677539) × R
    0.000191750000000046 × 0.163286486504973 × 6371000     		do = 199.477180909118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55760202--0.55741027) × cos(1.40674408) × R
    0.000191750000000046 × 0.163317376203902 × 6371000     		du = 199.51491697775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40677539)-sin(1.40674408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163286486504973-0.163317376203902)×R²
    abs(-0.55741027--0.55760202)×3.08896989293095e-05×R²
    0.000191750000000046×3.08896989293095e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.08896989293095e-05×40589641000000     		ar = 39794.6758575792m²