Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13475 / 5207
↖ ↑ ↗
← N 54.686534°
E116.081543°		 ← 1 412.30 m → N 54.686534°
E116.103516°		 →
↑
1 412.51 m
↓
↑
1 412.51 m
↓
N 54.673831°
E116.081543°		 ← 1 412.74 m →
1 995 205 m²		 N 54.673831°
E116.103516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822479248046875 y=0.317840576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822479248046875 × 214)
    floor (0.822479248046875 × 16384)
    floor (13475.5)     		tx = 13475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317840576171875 × 214)
    floor (0.317840576171875 × 16384)
    floor (5207.5)     		ty = 5207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13475 / 5207 ti = "14/13475/5207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13475/5207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13475 ÷ 214
    13475 ÷ 16384     		x = 0.82244873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5207 ÷ 214
    5207 ÷ 16384     		y = 0.31781005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82244873046875 × 2 - 1) × π
    0.6448974609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02600513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31781005859375 × 2 - 1) × π
    0.3643798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14473316292694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02600513} λ = 2.02600513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14473316292694))-π/2
    2×atan(3.14160294884939)-π/2
    2×1.26262820283656-π/2
    2.52525640567312-1.57079632675     		φ = 0.95446008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02600513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.081543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95446008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.686534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13475 KachelY 5207 2.02600513 0.95446008 116.081543 54.686534
    Oben rechts KachelX + 1 13476 KachelY 5207 2.02638862 0.95446008 116.103516 54.686534
    Unten links KachelX 13475 KachelY + 1 5208 2.02600513 0.95423837 116.081543 54.673831
    Unten rechts KachelX + 1 13476 KachelY + 1 5208 2.02638862 0.95423837 116.103516 54.673831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95446008-0.95423837) × R
    0.000221710000000042 × 6371000     		dl = 1412.51441000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95446008-0.95423837) × R
    0.000221710000000042 × 6371000     		dr = 1412.51441000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02600513-2.02638862) × cos(0.95446008) × R
    0.000383489999999931 × 0.578049417765525 × 6371000     		do = 1412.29888683537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02600513-2.02638862) × cos(0.95423837) × R
    0.000383489999999931 × 0.578230319306918 × 6371000     		du = 1412.74086815683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95446008)-sin(0.95423837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578049417765525-0.578230319306918)×R²
    abs(2.02638862-2.02600513)×0.000180901541393053×R²
    0.000383489999999931×0.000180901541393053×6371000²
    0.000383489999999931×0.000180901541393053×40589641000000     		ar = 1995204.68954798m²