Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13472 / 5211
↖ ↑ ↗
← N 54.635697°
E116.015625°		 ← 1 414.10 m → N 54.635697°
E116.037598°		 →
↑
1 414.30 m
↓
↑
1 414.30 m
↓
N 54.622978°
E116.015625°		 ← 1 414.55 m →
2 000 278 m²		 N 54.622978°
E116.037598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822296142578125 y=0.318084716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822296142578125 × 214)
    floor (0.822296142578125 × 16384)
    floor (13472.5)     		tx = 13472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318084716796875 × 214)
    floor (0.318084716796875 × 16384)
    floor (5211.5)     		ty = 5211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13472 / 5211 ti = "14/13472/5211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13472/5211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13472 ÷ 214
    13472 ÷ 16384     		x = 0.822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5211 ÷ 214
    5211 ÷ 16384     		y = 0.31805419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822265625 × 2 - 1) × π
    0.64453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02485464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31805419921875 × 2 - 1) × π
    0.3638916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1431991821391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02485464} λ = 2.02485464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1431991821391))-π/2
    2×atan(3.13678748464189)-π/2
    2×1.2621845669449-π/2
    2.5243691338898-1.57079632675     		φ = 0.95357281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02485464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95357281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.635697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13472 KachelY 5211 2.02485464 0.95357281 116.015625 54.635697
    Oben rechts KachelX + 1 13473 KachelY 5211 2.02523814 0.95357281 116.037598 54.635697
    Unten links KachelX 13472 KachelY + 1 5212 2.02485464 0.95335082 116.015625 54.622978
    Unten rechts KachelX + 1 13473 KachelY + 1 5212 2.02523814 0.95335082 116.037598 54.622978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95357281-0.95335082) × R
    0.000221990000000005 × 6371000     		dl = 1414.29829000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95357281-0.95335082) × R
    0.000221990000000005 × 6371000     		dr = 1414.29829000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02485464-2.02523814) × cos(0.95357281) × R
    0.00038349999999987 × 0.578773204017074 × 6371000     		do = 1414.10412575055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02485464-2.02523814) × cos(0.95335082) × R
    0.00038349999999987 × 0.578954220058383 × 6371000     		du = 1414.54639835244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95357281)-sin(0.95335082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578773204017074-0.578954220058383)×R²
    abs(2.02523814-2.02485464)×0.00018101604130949×R²
    0.00038349999999987×0.00018101604130949×6371000²
    0.00038349999999987×0.00018101604130949×40589641000000     		ar = 2000277.8078387m²