Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13472 / 5210
↖ ↑ ↗
← N 54.648413°
E116.015625°		 ← 1 413.66 m → N 54.648413°
E116.037598°		 →
↑
1 413.85 m
↓
↑
1 413.85 m
↓
N 54.635697°
E116.015625°		 ← 1 414.10 m →
1 999 022 m²		 N 54.635697°
E116.037598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822296142578125 y=0.318023681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822296142578125 × 214)
    floor (0.822296142578125 × 16384)
    floor (13472.5)     		tx = 13472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318023681640625 × 214)
    floor (0.318023681640625 × 16384)
    floor (5210.5)     		ty = 5210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13472 / 5210 ti = "14/13472/5210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13472/5210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13472 ÷ 214
    13472 ÷ 16384     		x = 0.822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5210 ÷ 214
    5210 ÷ 16384     		y = 0.3179931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822265625 × 2 - 1) × π
    0.64453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02485464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3179931640625 × 2 - 1) × π
    0.364013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14358267733606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02485464} λ = 2.02485464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14358267733606))-π/2
    2×atan(3.13799065826704)-π/2
    2×1.26229552796472-π/2
    2.52459105592944-1.57079632675     		φ = 0.95379473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02485464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95379473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.648413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13472 KachelY 5210 2.02485464 0.95379473 116.015625 54.648413
    Oben rechts KachelX + 1 13473 KachelY 5210 2.02523814 0.95379473 116.037598 54.648413
    Unten links KachelX 13472 KachelY + 1 5211 2.02485464 0.95357281 116.015625 54.635697
    Unten rechts KachelX + 1 13473 KachelY + 1 5211 2.02523814 0.95357281 116.037598 54.635697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95379473-0.95357281) × R
    0.000221919999999987 × 6371000     		dl = 1413.85231999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95379473-0.95357281) × R
    0.000221919999999987 × 6371000     		dr = 1413.85231999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02485464-2.02523814) × cos(0.95379473) × R
    0.00038349999999987 × 0.578592216547265 × 6371000     		do = 1413.6619229568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02485464-2.02523814) × cos(0.95357281) × R
    0.00038349999999987 × 0.578773204017074 × 6371000     		du = 1414.10412575055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95379473)-sin(0.95357281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578592216547265-0.578773204017074)×R²
    abs(2.02523814-2.02485464)×0.000180987469808547×R²
    0.00038349999999987×0.000180987469808547×6371000²
    0.00038349999999987×0.000180987469808547×40589641000000     		ar = 1999021.80239452m²