Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13472 / 3470
↖ ↑ ↗
← N 80.390064°
W 31.992188°		 ← 203.94 m → N 80.390064°
W 31.981201°		 →
↑
203.94 m
↓
↑
203.94 m
↓
N 80.388230°
W 31.992188°		 ← 203.98 m →
41 595 m²		 N 80.388230°
W 31.981201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411148071289062 y=0.105911254882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411148071289062 × 215)
    floor (0.411148071289062 × 32768)
    floor (13472.5)     		tx = 13472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105911254882812 × 215)
    floor (0.105911254882812 × 32768)
    floor (3470.5)     		ty = 3470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13472 / 3470 ti = "15/13472/3470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13472/3470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13472 ÷ 215
    13472 ÷ 32768     		x = 0.4111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3470 ÷ 215
    3470 ÷ 32768     		y = 0.10589599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4111328125 × 2 - 1) × π
    -0.177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55836901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10589599609375 × 2 - 1) × π
    0.7882080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47622848677362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55836901} λ = -0.55836901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47622848677362))-π/2
    2×atan(11.8963126026244)-π/2
    2×1.48693382025479-π/2
    2.97386764050957-1.57079632675     		φ = 1.40307131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55836901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.992188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40307131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.390064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13472 KachelY 3470 -0.55836901 1.40307131 -31.992188 80.390064
    Oben rechts KachelX + 1 13473 KachelY 3470 -0.55817726 1.40307131 -31.981201 80.390064
    Unten links KachelX 13472 KachelY + 1 3471 -0.55836901 1.40303930 -31.992188 80.388230
    Unten rechts KachelX + 1 13473 KachelY + 1 3471 -0.55817726 1.40303930 -31.981201 80.388230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40307131-1.40303930) × R
    3.20099999999712e-05 × 6371000     		dl = 203.935709999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40307131-1.40303930) × R
    3.20099999999712e-05 × 6371000     		dr = 203.935709999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55836901--0.55817726) × cos(1.40307131) × R
    0.000191750000000046 × 0.166939724403619 × 6371000     		do = 203.940119715692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55836901--0.55817726) × cos(1.40303930) × R
    0.000191750000000046 × 0.166971285125057 × 6371000     		du = 203.97867553176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40307131)-sin(1.40303930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166939724403619-0.166971285125057)×R²
    abs(-0.55817726--0.55836901)×3.15607214385616e-05×R²
    0.000191750000000046×3.15607214385616e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.15607214385616e-05×40589641000000     		ar = 41594.6045691919m²