Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13472 / 12540
↖ ↑ ↗
← S 68.624543°
E116.015625°		 ← 890.52 m → S 68.624543°
E116.037598°		 →
↑
890.41 m
↓
↑
890.41 m
↓
S 68.632551°
E116.015625°		 ← 890.20 m →
792 788 m²		 S 68.632551°
E116.037598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822296142578125 y=0.765411376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822296142578125 × 214)
    floor (0.822296142578125 × 16384)
    floor (13472.5)     		tx = 13472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765411376953125 × 214)
    floor (0.765411376953125 × 16384)
    floor (12540.5)     		ty = 12540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13472 / 12540 ti = "14/13472/12540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13472/12540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13472 ÷ 214
    13472 ÷ 16384     		x = 0.822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12540 ÷ 214
    12540 ÷ 16384     		y = 0.765380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822265625 × 2 - 1) × π
    0.64453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02485464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765380859375 × 2 - 1) × π
    -0.53076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66743711638403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02485464} λ = 2.02485464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66743711638403))-π/2
    2×atan(0.18873013972594)-π/2
    2×0.186536046103252-π/2
    0.373072092206504-1.57079632675     		φ = -1.19772423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02485464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19772423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.624543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13472 KachelY 12540 2.02485464 -1.19772423 116.015625 -68.624543
    Oben rechts KachelX + 1 13473 KachelY 12540 2.02523814 -1.19772423 116.037598 -68.624543
    Unten links KachelX 13472 KachelY + 1 12541 2.02485464 -1.19786399 116.015625 -68.632551
    Unten rechts KachelX + 1 13473 KachelY + 1 12541 2.02523814 -1.19786399 116.037598 -68.632551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19772423--1.19786399) × R
    0.000139760000000155 × 6371000     		dl = 890.410960000989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19772423--1.19786399) × R
    0.000139760000000155 × 6371000     		dr = 890.410960000989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02485464-2.02523814) × cos(-1.19772423) × R
    0.00038349999999987 × 0.364477920888042 × 6371000     		do = 890.521067830153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02485464-2.02523814) × cos(-1.19786399) × R
    0.00038349999999987 × 0.364347771135478 × 6371000     		du = 890.203075737932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19772423)-sin(-1.19786399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364477920888042-0.364347771135478)×R²
    abs(2.02523814-2.02485464)×0.00013014975256459×R²
    0.00038349999999987×0.00013014975256459×6371000²
    0.00038349999999987×0.00013014975256459×40589641000000     		ar = 792788.148376603m²