Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13471 / 5793
↖ ↑ ↗
← N 46.543750°
E115.993652°		 ← 1 680.49 m → N 46.543750°
E116.015625°		 →
↑
1 680.73 m
↓
↑
1 680.73 m
↓
N 46.528635°
E115.993652°		 ← 1 680.96 m →
2 824 846 m²		 N 46.528635°
E116.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822235107421875 y=0.353607177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822235107421875 × 214)
    floor (0.822235107421875 × 16384)
    floor (13471.5)     		tx = 13471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353607177734375 × 214)
    floor (0.353607177734375 × 16384)
    floor (5793.5)     		ty = 5793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13471 / 5793 ti = "14/13471/5793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13471/5793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13471 ÷ 214
    13471 ÷ 16384     		x = 0.82220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5793 ÷ 214
    5793 ÷ 16384     		y = 0.35357666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82220458984375 × 2 - 1) × π
    0.6444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02447114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35357666015625 × 2 - 1) × π
    0.2928466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.920004977508118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02447114} λ = 2.02447114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920004977508118))-π/2
    2×atan(2.50930287998067)-π/2
    2×1.1915690017842-π/2
    2.3831380035684-1.57079632675     		φ = 0.81234168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02447114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.993652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81234168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.543750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13471 KachelY 5793 2.02447114 0.81234168 115.993652 46.543750
    Oben rechts KachelX + 1 13472 KachelY 5793 2.02485464 0.81234168 116.015625 46.543750
    Unten links KachelX 13471 KachelY + 1 5794 2.02447114 0.81207787 115.993652 46.528635
    Unten rechts KachelX + 1 13472 KachelY + 1 5794 2.02485464 0.81207787 116.015625 46.528635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81234168-0.81207787) × R
    0.000263809999999975 × 6371000     		dl = 1680.73350999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81234168-0.81207787) × R
    0.000263809999999975 × 6371000     		dr = 1680.73350999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02447114-2.02485464) × cos(0.81234168) × R
    0.00038349999999987 × 0.68780049529183 × 6371000     		do = 1680.48816243531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02447114-2.02485464) × cos(0.81207787) × R
    0.00038349999999987 × 0.687991970974419 × 6371000     		du = 1680.95599085385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81234168)-sin(0.81207787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68780049529183-0.687991970974419)×R²
    abs(2.02485464-2.02447114)×0.000191475682589259×R²
    0.00038349999999987×0.000191475682589259×6371000²
    0.00038349999999987×0.000191475682589259×40589641000000     		ar = 2824845.93159573m²