Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13471 / 5226
↖ ↑ ↗
← N 54.444492°
E115.993652°		 ← 1 420.75 m → N 54.444492°
E116.015625°		 →
↑
1 420.92 m
↓
↑
1 420.92 m
↓
N 54.431713°
E115.993652°		 ← 1 421.19 m →
2 019 086 m²		 N 54.431713°
E116.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822235107421875 y=0.319000244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822235107421875 × 214)
    floor (0.822235107421875 × 16384)
    floor (13471.5)     		tx = 13471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319000244140625 × 214)
    floor (0.319000244140625 × 16384)
    floor (5226.5)     		ty = 5226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13471 / 5226 ti = "14/13471/5226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13471/5226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13471 ÷ 214
    13471 ÷ 16384     		x = 0.82220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5226 ÷ 214
    5226 ÷ 16384     		y = 0.3189697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82220458984375 × 2 - 1) × π
    0.6444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02447114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3189697265625 × 2 - 1) × π
    0.362060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13744675418469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02447114} λ = 2.02447114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13744675418469))-π/2
    2×atan(3.11879514007563)-π/2
    2×1.26051598381076-π/2
    2.52103196762152-1.57079632675     		φ = 0.95023564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02447114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.993652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95023564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.444492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13471 KachelY 5226 2.02447114 0.95023564 115.993652 54.444492
    Oben rechts KachelX + 1 13472 KachelY 5226 2.02485464 0.95023564 116.015625 54.444492
    Unten links KachelX 13471 KachelY + 1 5227 2.02447114 0.95001261 115.993652 54.431713
    Unten rechts KachelX + 1 13472 KachelY + 1 5227 2.02485464 0.95001261 116.015625 54.431713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95023564-0.95001261) × R
    0.000223030000000013 × 6371000     		dl = 1420.92413000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95023564-0.95001261) × R
    0.000223030000000013 × 6371000     		dr = 1420.92413000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02447114-2.02485464) × cos(0.95023564) × R
    0.00038349999999987 × 0.58149140008678 × 6371000     		do = 1420.74543576645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02447114-2.02485464) × cos(0.95001261) × R
    0.00038349999999987 × 0.581672832248121 × 6371000     		du = 1421.18872506546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95023564)-sin(0.95001261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58149140008678-0.581672832248121)×R²
    abs(2.02485464-2.02447114)×0.000181432161340811×R²
    0.00038349999999987×0.000181432161340811×6371000²
    0.00038349999999987×0.000181432161340811×40589641000000     		ar = 2019086.42086802m²