Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13469 / 5221
↖ ↑ ↗
← N 54.508327°
E115.949707°		 ← 1 418.53 m → N 54.508327°
E115.971680°		 →
↑
1 418.76 m
↓
↑
1 418.76 m
↓
N 54.495567°
E115.949707°		 ← 1 418.97 m →
2 012 865 m²		 N 54.495567°
E115.971680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822113037109375 y=0.318695068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822113037109375 × 214)
    floor (0.822113037109375 × 16384)
    floor (13469.5)     		tx = 13469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318695068359375 × 214)
    floor (0.318695068359375 × 16384)
    floor (5221.5)     		ty = 5221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13469 / 5221 ti = "14/13469/5221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13469/5221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13469 ÷ 214
    13469 ÷ 16384     		x = 0.82208251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5221 ÷ 214
    5221 ÷ 16384     		y = 0.31866455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82208251953125 × 2 - 1) × π
    0.6441650390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02370415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31866455078125 × 2 - 1) × π
    0.3626708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13936423016949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02370415} λ = 2.02370415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13936423016949))-π/2
    2×atan(3.1247810919837)-π/2
    2×1.26107304697907-π/2
    2.52214609395814-1.57079632675     		φ = 0.95134977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02370415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.949707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95134977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.508327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13469 KachelY 5221 2.02370415 0.95134977 115.949707 54.508327
    Oben rechts KachelX + 1 13470 KachelY 5221 2.02408765 0.95134977 115.971680 54.508327
    Unten links KachelX 13469 KachelY + 1 5222 2.02370415 0.95112708 115.949707 54.495567
    Unten rechts KachelX + 1 13470 KachelY + 1 5222 2.02408765 0.95112708 115.971680 54.495567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95134977-0.95112708) × R
    0.00022268999999997 × 6371000     		dl = 1418.75798999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95134977-0.95112708) × R
    0.00022268999999997 × 6371000     		dr = 1418.75798999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02370415-2.02408765) × cos(0.95134977) × R
    0.00038349999999987 × 0.580584636073327 × 6371000     		do = 1418.5299587478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02370415-2.02408765) × cos(0.95112708) × R
    0.00038349999999987 × 0.580765935852158 × 6371000     		du = 1418.97292459948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95134977)-sin(0.95112708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580584636073327-0.580765935852158)×R²
    abs(2.02408765-2.02370415)×0.000181299778830635×R²
    0.00038349999999987×0.000181299778830635×6371000²
    0.00038349999999987×0.000181299778830635×40589641000000     		ar = 2012864.95201727m²