Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13469 / 5206
↖ ↑ ↗
← N 54.699233°
E115.949707°		 ← 1 411.89 m → N 54.699233°
E115.971680°		 →
↑
1 412.07 m
↓
↑
1 412.07 m
↓
N 54.686534°
E115.949707°		 ← 1 412.34 m →
1 994 003 m²		 N 54.686534°
E115.971680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822113037109375 y=0.317779541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822113037109375 × 214)
    floor (0.822113037109375 × 16384)
    floor (13469.5)     		tx = 13469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317779541015625 × 214)
    floor (0.317779541015625 × 16384)
    floor (5206.5)     		ty = 5206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13469 / 5206 ti = "14/13469/5206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13469/5206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13469 ÷ 214
    13469 ÷ 16384     		x = 0.82208251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5206 ÷ 214
    5206 ÷ 16384     		y = 0.3177490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82208251953125 × 2 - 1) × π
    0.6441650390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02370415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3177490234375 × 2 - 1) × π
    0.364501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1451166581239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02370415} λ = 2.02370415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1451166581239))-π/2
    2×atan(3.14280796953608)-π/2
    2×1.26273902508263-π/2
    2.52547805016526-1.57079632675     		φ = 0.95468172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02370415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.949707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95468172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.699233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13469 KachelY 5206 2.02370415 0.95468172 115.949707 54.699233
    Oben rechts KachelX + 1 13470 KachelY 5206 2.02408765 0.95468172 115.971680 54.699233
    Unten links KachelX 13469 KachelY + 1 5207 2.02370415 0.95446008 115.949707 54.686534
    Unten rechts KachelX + 1 13470 KachelY + 1 5207 2.02408765 0.95446008 115.971680 54.686534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95468172-0.95446008) × R
    0.000221639999999912 × 6371000     		dl = 1412.06843999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95468172-0.95446008) × R
    0.000221639999999912 × 6371000     		dr = 1412.06843999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02370415-2.02408765) × cos(0.95468172) × R
    0.00038349999999987 × 0.577868544939017 × 6371000     		do = 1411.89379167531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02370415-2.02408765) × cos(0.95446008) × R
    0.00038349999999987 × 0.578049417765525 × 6371000     		du = 1412.33571436355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95468172)-sin(0.95446008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577868544939017-0.578049417765525)×R²
    abs(2.02408765-2.02370415)×0.000180872826507916×R²
    0.00038349999999987×0.000180872826507916×6371000²
    0.00038349999999987×0.000180872826507916×40589641000000     		ar = 1994002.68455838m²