Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13469 / 2693
↖ ↑ ↗
← N 81.715276°
W 32.025147°		 ← 176.03 m → N 81.715276°
W 32.014160°		 →
↑
176.03 m
↓
↑
176.03 m
↓
N 81.713693°
W 32.025147°		 ← 176.06 m →
30 989 m²		 N 81.713693°
W 32.014160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411056518554688 y=0.0821990966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411056518554688 × 215)
    floor (0.411056518554688 × 32768)
    floor (13469.5)     		tx = 13469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0821990966796875 × 215)
    floor (0.0821990966796875 × 32768)
    floor (2693.5)     		ty = 2693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13469 / 2693 ti = "15/13469/2693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13469/2693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13469 ÷ 215
    13469 ÷ 32768     		x = 0.411041259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2693 ÷ 215
    2693 ÷ 32768     		y = 0.082183837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411041259765625 × 2 - 1) × π
    -0.17791748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55894425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.082183837890625 × 2 - 1) × π
    0.83563232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.62521637079276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55894425} λ = -0.55894425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62521637079276))-π/2
    2×atan(13.8075614158904)-π/2
    2×1.49849847231489-π/2
    2.99699694462979-1.57079632675     		φ = 1.42620062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55894425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.025147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42620062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.715276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13469 KachelY 2693 -0.55894425 1.42620062 -32.025147 81.715276
    Oben rechts KachelX + 1 13470 KachelY 2693 -0.55875250 1.42620062 -32.014160 81.715276
    Unten links KachelX 13469 KachelY + 1 2694 -0.55894425 1.42617299 -32.025147 81.713693
    Unten rechts KachelX + 1 13470 KachelY + 1 2694 -0.55875250 1.42617299 -32.014160 81.713693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42620062-1.42617299) × R
    2.76299999999452e-05 × 6371000     		dl = 176.030729999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42620062-1.42617299) × R
    2.76299999999452e-05 × 6371000     		dr = 176.030729999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55894425--0.55875250) × cos(1.42620062) × R
    0.000191750000000046 × 0.144092367398411 × 6371000     		do = 176.028891639361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55894425--0.55875250) × cos(1.42617299) × R
    0.000191750000000046 × 0.144119709003421 × 6371000     		du = 176.0622932172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42620062)-sin(1.42617299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144092367398411-0.144119709003421)×R²
    abs(-0.55875250--0.55894425)×2.73416050101949e-05×R²
    0.000191750000000046×2.73416050101949e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.73416050101949e-05×40589641000000     		ar = 30989.4341502673m²