Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13468 / 5789
↖ ↑ ↗
← N 46.604167°
E115.927734°		 ← 1 678.57 m → N 46.604167°
E115.949707°		 →
↑
1 678.82 m
↓
↑
1 678.82 m
↓
N 46.589069°
E115.927734°		 ← 1 679.04 m →
2 818 419 m²		 N 46.589069°
E115.949707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822052001953125 y=0.353363037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822052001953125 × 214)
    floor (0.822052001953125 × 16384)
    floor (13468.5)     		tx = 13468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353363037109375 × 214)
    floor (0.353363037109375 × 16384)
    floor (5789.5)     		ty = 5789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13468 / 5789 ti = "14/13468/5789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13468/5789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13468 ÷ 214
    13468 ÷ 16384     		x = 0.822021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5789 ÷ 214
    5789 ÷ 16384     		y = 0.35333251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822021484375 × 2 - 1) × π
    0.64404296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02332066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35333251953125 × 2 - 1) × π
    0.2933349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.921538958295959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02332066} λ = 2.02332066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.921538958295959))-π/2
    2×atan(2.51315505621622)-π/2
    2×1.19209624445989-π/2
    2.38419248891979-1.57079632675     		φ = 0.81339616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02332066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81339616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.604167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13468 KachelY 5789 2.02332066 0.81339616 115.927734 46.604167
    Oben rechts KachelX + 1 13469 KachelY 5789 2.02370415 0.81339616 115.949707 46.604167
    Unten links KachelX 13468 KachelY + 1 5790 2.02332066 0.81313265 115.927734 46.589069
    Unten rechts KachelX + 1 13469 KachelY + 1 5790 2.02370415 0.81313265 115.949707 46.589069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81339616-0.81313265) × R
    0.000263510000000022 × 6371000     		dl = 1678.82221000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81339616-0.81313265) × R
    0.000263510000000022 × 6371000     		dr = 1678.82221000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02332066-2.02370415) × cos(0.81339616) × R
    0.000383489999999931 × 0.687034666250029 × 6371000     		do = 1678.57325782448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02332066-2.02370415) × cos(0.81313265) × R
    0.000383489999999931 × 0.687226115253693 × 6371000     		du = 1679.04100886176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81339616)-sin(0.81313265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687034666250029-0.687226115253693)×R²
    abs(2.02370415-2.02332066)×0.000191449003663635×R²
    0.000383489999999931×0.000191449003663635×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191449003663635×40589641000000     		ar = 2818418.71807296m²