Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13468 / 5219
↖ ↑ ↗
← N 54.533832°
E115.927734°		 ← 1 417.61 m → N 54.533832°
E115.949707°		 →
↑
1 417.87 m
↓
↑
1 417.87 m
↓
N 54.521081°
E115.927734°		 ← 1 418.05 m →
2 010 291 m²		 N 54.521081°
E115.949707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822052001953125 y=0.318572998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822052001953125 × 214)
    floor (0.822052001953125 × 16384)
    floor (13468.5)     		tx = 13468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318572998046875 × 214)
    floor (0.318572998046875 × 16384)
    floor (5219.5)     		ty = 5219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13468 / 5219 ti = "14/13468/5219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13468/5219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13468 ÷ 214
    13468 ÷ 16384     		x = 0.822021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5219 ÷ 214
    5219 ÷ 16384     		y = 0.31854248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822021484375 × 2 - 1) × π
    0.64404296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02332066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31854248046875 × 2 - 1) × π
    0.3629150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14013122056342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02332066} λ = 2.02332066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14013122056342))-π/2
    2×atan(3.12717868841354)-π/2
    2×1.26129562888537-π/2
    2.52259125777073-1.57079632675     		φ = 0.95179493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02332066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95179493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.533832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13468 KachelY 5219 2.02332066 0.95179493 115.927734 54.533832
    Oben rechts KachelX + 1 13469 KachelY 5219 2.02370415 0.95179493 115.949707 54.533832
    Unten links KachelX 13468 KachelY + 1 5220 2.02332066 0.95157238 115.927734 54.521081
    Unten rechts KachelX + 1 13469 KachelY + 1 5220 2.02370415 0.95157238 115.949707 54.521081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95179493-0.95157238) × R
    0.000222550000000044 × 6371000     		dl = 1417.86605000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95179493-0.95157238) × R
    0.000222550000000044 × 6371000     		dr = 1417.86605000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02332066-2.02370415) × cos(0.95179493) × R
    0.000383489999999931 × 0.58022212933046 × 6371000     		do = 1417.60728786522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02332066-2.02370415) × cos(0.95157238) × R
    0.000383489999999931 × 0.580403372649151 × 6371000     		du = 1418.05010422203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95179493)-sin(0.95157238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58022212933046-0.580403372649151)×R²
    abs(2.02370415-2.02332066)×0.000181243318690849×R²
    0.000383489999999931×0.000181243318690849×6371000²
    0.000383489999999931×0.000181243318690849×40589641000000     		ar = 2010291.18113362m²