Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13466 / 5803
↖ ↑ ↗
← N 46.392411°
E115.883789°		 ← 1 685.12 m → N 46.392411°
E115.905761°		 →
↑
1 685.38 m
↓
↑
1 685.38 m
↓
N 46.377254°
E115.883789°		 ← 1 685.59 m →
2 840 474 m²		 N 46.377254°
E115.905761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821929931640625 y=0.354217529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821929931640625 × 214)
    floor (0.821929931640625 × 16384)
    floor (13466.5)     		tx = 13466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354217529296875 × 214)
    floor (0.354217529296875 × 16384)
    floor (5803.5)     		ty = 5803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13466 / 5803 ti = "14/13466/5803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13466/5803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13466 ÷ 214
    13466 ÷ 16384     		x = 0.8218994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5803 ÷ 214
    5803 ÷ 16384     		y = 0.35418701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8218994140625 × 2 - 1) × π
    0.643798828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02255367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35418701171875 × 2 - 1) × π
    0.2916259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.916170025538513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02255367} λ = 2.02255367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.916170025538513))-π/2
    2×atan(2.49969825237269)-π/2
    2×1.19024832498908-π/2
    2.38049664997816-1.57079632675     		φ = 0.80970032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02255367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.883789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80970032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.392411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13466 KachelY 5803 2.02255367 0.80970032 115.883789 46.392411
    Oben rechts KachelX + 1 13467 KachelY 5803 2.02293716 0.80970032 115.905761 46.392411
    Unten links KachelX 13466 KachelY + 1 5804 2.02255367 0.80943578 115.883789 46.377254
    Unten rechts KachelX + 1 13467 KachelY + 1 5804 2.02293716 0.80943578 115.905761 46.377254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80970032-0.80943578) × R
    0.00026453999999998 × 6371000     		dl = 1685.38433999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80970032-0.80943578) × R
    0.00026453999999998 × 6371000     		dr = 1685.38433999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02255367-2.02293716) × cos(0.80970032) × R
    0.000383489999999931 × 0.689715456367641 × 6371000     		do = 1685.12300388872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02255367-2.02293716) × cos(0.80943578) × R
    0.000383489999999931 × 0.689906980490674 × 6371000     		du = 1685.59093845875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80970032)-sin(0.80943578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689715456367641-0.689906980490674)×R²
    abs(2.02293716-2.02255367)×0.000191524123033693×R²
    0.000383489999999931×0.000191524123033693×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191524123033693×40589641000000     		ar = 2840474.26308959m²