Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13466 / 2716
↖ ↑ ↗
← N 81.678786°
W 32.058105°		 ← 176.80 m → N 81.678786°
W 32.047119°		 →
↑
176.80 m
↓
↑
176.80 m
↓
N 81.677196°
W 32.058105°		 ← 176.83 m →
31 260 m²		 N 81.677196°
W 32.047119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410964965820312 y=0.0829010009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410964965820312 × 215)
    floor (0.410964965820312 × 32768)
    floor (13466.5)     		tx = 13466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0829010009765625 × 215)
    floor (0.0829010009765625 × 32768)
    floor (2716.5)     		ty = 2716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13466 / 2716 ti = "15/13466/2716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13466/2716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13466 ÷ 215
    13466 ÷ 32768     		x = 0.41094970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2716 ÷ 215
    2716 ÷ 32768     		y = 0.0828857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41094970703125 × 2 - 1) × π
    -0.1781005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55951949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0828857421875 × 2 - 1) × π
    0.834228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62080617602771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55951949} λ = -0.55951949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62080617602771))-π/2
    2×atan(13.7468014609145)-π/2
    2×1.49818004028892-π/2
    2.99636008057785-1.57079632675     		φ = 1.42556375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55951949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.058105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42556375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.678786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13466 KachelY 2716 -0.55951949 1.42556375 -32.058105 81.678786
    Oben rechts KachelX + 1 13467 KachelY 2716 -0.55932774 1.42556375 -32.047119 81.678786
    Unten links KachelX 13466 KachelY + 1 2717 -0.55951949 1.42553600 -32.058105 81.677196
    Unten rechts KachelX + 1 13467 KachelY + 1 2717 -0.55932774 1.42553600 -32.047119 81.677196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42556375-1.42553600) × R
    2.77500000001041e-05 × 6371000     		dl = 176.795250000663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42556375-1.42553600) × R
    2.77500000001041e-05 × 6371000     		dr = 176.795250000663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55951949--0.55932774) × cos(1.42556375) × R
    0.000191750000000046 × 0.144722561912631 × 6371000     		do = 176.798761993068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55951949--0.55932774) × cos(1.42553600) × R
    0.000191750000000046 × 0.144750019712495 × 6371000     		du = 176.8323055191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42556375)-sin(1.42553600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144722561912631-0.144750019712495)×R²
    abs(-0.55932774--0.55951949)×2.74577998641834e-05×R²
    0.000191750000000046×2.74577998641834e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.74577998641834e-05×40589641000000     		ar = 31260.1464968309m²