Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13466 / 2714
↖ ↑ ↗
← N 81.681966°
W 32.058105°		 ← 176.73 m → N 81.681966°
W 32.047119°		 →
↑
176.73 m
↓
↑
176.73 m
↓
N 81.680376°
W 32.058105°		 ← 176.77 m →
31 237 m²		 N 81.680376°
W 32.047119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410964965820312 y=0.0828399658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410964965820312 × 215)
    floor (0.410964965820312 × 32768)
    floor (13466.5)     		tx = 13466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0828399658203125 × 215)
    floor (0.0828399658203125 × 32768)
    floor (2714.5)     		ty = 2714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13466 / 2714 ti = "15/13466/2714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13466/2714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13466 ÷ 215
    13466 ÷ 32768     		x = 0.41094970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2714 ÷ 215
    2714 ÷ 32768     		y = 0.08282470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41094970703125 × 2 - 1) × π
    -0.1781005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55951949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08282470703125 × 2 - 1) × π
    0.8343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62118967122467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55951949} λ = -0.55951949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62118967122467))-π/2
    2×atan(13.7520743042387)-π/2
    2×1.49820778522753-π/2
    2.99641557045507-1.57079632675     		φ = 1.42561924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55951949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.058105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42561924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.681966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13466 KachelY 2714 -0.55951949 1.42561924 -32.058105 81.681966
    Oben rechts KachelX + 1 13467 KachelY 2714 -0.55932774 1.42561924 -32.047119 81.681966
    Unten links KachelX 13466 KachelY + 1 2715 -0.55951949 1.42559150 -32.058105 81.680376
    Unten rechts KachelX + 1 13467 KachelY + 1 2715 -0.55932774 1.42559150 -32.047119 81.680376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42561924-1.42559150) × R
    2.77400000001649e-05 × 6371000     		dl = 176.73154000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42561924-1.42559150) × R
    2.77400000001649e-05 × 6371000     		dr = 176.73154000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55951949--0.55932774) × cos(1.42561924) × R
    0.000191750000000046 × 0.144667655873391 × 6371000     		do = 176.73168662047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55951949--0.55932774) × cos(1.42559150) × R
    0.000191750000000046 × 0.144695104001322 × 6371000     		du = 176.765218330889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42561924)-sin(1.42559150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144667655873391-0.144695104001322)×R²
    abs(-0.55932774--0.55951949)×2.74481279308736e-05×R²
    0.000191750000000046×2.74481279308736e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.74481279308736e-05×40589641000000     		ar = 31237.0262005929m²