Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13465 / 5208
↖ ↑ ↗
← N 54.673831°
E115.861816°		 ← 1 412.78 m → N 54.673831°
E115.883789°		 →
↑
1 413.02 m
↓
↑
1 413.02 m
↓
N 54.661124°
E115.861816°		 ← 1 413.22 m →
1 996 601 m²		 N 54.661124°
E115.883789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821868896484375 y=0.317901611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821868896484375 × 214)
    floor (0.821868896484375 × 16384)
    floor (13465.5)     		tx = 13465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317901611328125 × 214)
    floor (0.317901611328125 × 16384)
    floor (5208.5)     		ty = 5208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13465 / 5208 ti = "14/13465/5208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13465/5208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13465 ÷ 214
    13465 ÷ 16384     		x = 0.82183837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5208 ÷ 214
    5208 ÷ 16384     		y = 0.31787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82183837890625 × 2 - 1) × π
    0.6436767578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02217017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31787109375 × 2 - 1) × π
    0.3642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14434966772998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02217017} λ = 2.02217017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14434966772998))-π/2
    2×atan(3.14039839019374)-π/2
    2×1.26251734590516-π/2
    2.52503469181031-1.57079632675     		φ = 0.95423837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02217017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.861816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95423837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.673831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13465 KachelY 5208 2.02217017 0.95423837 115.861816 54.673831
    Oben rechts KachelX + 1 13466 KachelY 5208 2.02255367 0.95423837 115.883789 54.673831
    Unten links KachelX 13465 KachelY + 1 5209 2.02217017 0.95401658 115.861816 54.661124
    Unten rechts KachelX + 1 13466 KachelY + 1 5209 2.02255367 0.95401658 115.883789 54.661124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95423837-0.95401658) × R
    0.000221789999999999 × 6371000     		dl = 1413.02409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95423837-0.95401658) × R
    0.000221789999999999 × 6371000     		dr = 1413.02409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02217017-2.02255367) × cos(0.95423837) × R
    0.000383500000000314 × 0.578230319306918 × 6371000     		do = 1412.77770721189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02217017-2.02255367) × cos(0.95401658) × R
    0.000383500000000314 × 0.578411257684839 × 6371000     		du = 1413.21979006049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95423837)-sin(0.95401658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578230319306918-0.578411257684839)×R²
    abs(2.02255367-2.02217017)×0.000180938377921325×R²
    0.000383500000000314×0.000180938377921325×6371000²
    0.000383500000000314×0.000180938377921325×40589641000000     		ar = 1996601.27914819m²