Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13465 / 3475
↖ ↑ ↗
← N 80.380890°
W 32.069092°		 ← 204.13 m → N 80.380890°
W 32.058105°		 →
↑
204.19 m
↓
↑
204.19 m
↓
N 80.379054°
W 32.069092°		 ← 204.17 m →
41 686 m²		 N 80.379054°
W 32.058105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410934448242188 y=0.106063842773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410934448242188 × 215)
    floor (0.410934448242188 × 32768)
    floor (13465.5)     		tx = 13465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106063842773438 × 215)
    floor (0.106063842773438 × 32768)
    floor (3475.5)     		ty = 3475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13465 / 3475 ti = "15/13465/3475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13465/3475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13465 ÷ 215
    13465 ÷ 32768     		x = 0.410919189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3475 ÷ 215
    3475 ÷ 32768     		y = 0.106048583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410919189453125 × 2 - 1) × π
    -0.17816162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55971124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106048583984375 × 2 - 1) × π
    0.78790283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47526974878122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55971124} λ = -0.55971124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47526974878122))-π/2
    2×atan(11.8849126214335)-π/2
    2×1.48685375669333-π/2
    2.97370751338665-1.57079632675     		φ = 1.40291119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55971124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.069092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40291119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.380890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13465 KachelY 3475 -0.55971124 1.40291119 -32.069092 80.380890
    Oben rechts KachelX + 1 13466 KachelY 3475 -0.55951949 1.40291119 -32.058105 80.380890
    Unten links KachelX 13465 KachelY + 1 3476 -0.55971124 1.40287914 -32.069092 80.379054
    Unten rechts KachelX + 1 13466 KachelY + 1 3476 -0.55951949 1.40287914 -32.058105 80.379054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40291119-1.40287914) × R
    3.20499999999502e-05 × 6371000     		dl = 204.190549999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40291119-1.40287914) × R
    3.20499999999502e-05 × 6371000     		dr = 204.190549999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55971124--0.55951949) × cos(1.40291119) × R
    0.000191750000000046 × 0.167097595315459 × 6371000     		do = 204.13298101803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55971124--0.55951949) × cos(1.40287914) × R
    0.000191750000000046 × 0.167129194618173 × 6371000     		du = 204.171583966498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40291119)-sin(1.40287914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167097595315459-0.167129194618173)×R²
    abs(-0.55951949--0.55971124)×3.1599302713653e-05×R²
    0.000191750000000046×3.1599302713653e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.1599302713653e-05×40589641000000     		ar = 41685.9668487843m²