Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13464 / 2938
↖ ↑ ↗
← N 81.318277°
W 32.080078°		 ← 184.40 m → N 81.318277°
W 32.069092°		 →
↑
184.44 m
↓
↑
184.44 m
↓
N 81.316618°
W 32.080078°		 ← 184.44 m →
34 014 m²		 N 81.316618°
W 32.069092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410903930664062 y=0.0896759033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410903930664062 × 215)
    floor (0.410903930664062 × 32768)
    floor (13464.5)     		tx = 13464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0896759033203125 × 215)
    floor (0.0896759033203125 × 32768)
    floor (2938.5)     		ty = 2938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13464 / 2938 ti = "15/13464/2938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13464/2938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13464 ÷ 215
    13464 ÷ 32768     		x = 0.410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2938 ÷ 215
    2938 ÷ 32768     		y = 0.08966064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.17822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55990299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08966064453125 × 2 - 1) × π
    0.8206787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5782382091651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55990299} λ = -0.55990299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5782382091651))-π/2
    2×atan(13.1739080319235)-π/2
    2×1.49503399758673-π/2
    2.99006799517346-1.57079632675     		φ = 1.41927167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55990299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.080078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41927167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.318277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13464 KachelY 2938 -0.55990299 1.41927167 -32.080078 81.318277
    Oben rechts KachelX + 1 13465 KachelY 2938 -0.55971124 1.41927167 -32.069092 81.318277
    Unten links KachelX 13464 KachelY + 1 2939 -0.55990299 1.41924272 -32.080078 81.316618
    Unten rechts KachelX + 1 13465 KachelY + 1 2939 -0.55971124 1.41924272 -32.069092 81.316618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41927167-1.41924272) × R
    2.89500000001386e-05 × 6371000     		dl = 184.440450000883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41927167-1.41924272) × R
    2.89500000001386e-05 × 6371000     		dr = 184.440450000883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55990299--0.55971124) × cos(1.41927167) × R
    0.000191749999999935 × 0.150945494741818 × 6371000     		do = 184.400940987211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55990299--0.55971124) × cos(1.41924272) × R
    0.000191749999999935 × 0.150974112971976 × 6371000     		du = 184.435902140438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41927167)-sin(1.41924272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150945494741818-0.150974112971976)×R²
    abs(-0.55971124--0.55990299)×2.86182301586224e-05×R²
    0.000191749999999935×2.86182301586224e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.86182301586224e-05×40589641000000     		ar = 34014.2166646018m²