Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13462 / 5214
↖ ↑ ↗
← N 54.597528°
E115.795899°		 ← 1 415.39 m → N 54.597528°
E115.817871°		 →
↑
1 415.64 m
↓
↑
1 415.64 m
↓
N 54.584796°
E115.795899°		 ← 1 415.84 m →
2 003 997 m²		 N 54.584796°
E115.817871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821685791015625 y=0.318267822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821685791015625 × 214)
    floor (0.821685791015625 × 16384)
    floor (13462.5)     		tx = 13462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318267822265625 × 214)
    floor (0.318267822265625 × 16384)
    floor (5214.5)     		ty = 5214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13462 / 5214 ti = "14/13462/5214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13462/5214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13462 ÷ 214
    13462 ÷ 16384     		x = 0.8216552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5214 ÷ 214
    5214 ÷ 16384     		y = 0.3182373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8216552734375 × 2 - 1) × π
    0.643310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02101969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3182373046875 × 2 - 1) × π
    0.363525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14204869654822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02101969} λ = 2.02101969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14204869654822))-π/2
    2×atan(3.13318073099603)-π/2
    2×1.26185147562234-π/2
    2.52370295124468-1.57079632675     		φ = 0.95290662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02101969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.795899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95290662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.597528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13462 KachelY 5214 2.02101969 0.95290662 115.795899 54.597528
    Oben rechts KachelX + 1 13463 KachelY 5214 2.02140318 0.95290662 115.817871 54.597528
    Unten links KachelX 13462 KachelY + 1 5215 2.02101969 0.95268442 115.795899 54.584796
    Unten rechts KachelX + 1 13463 KachelY + 1 5215 2.02140318 0.95268442 115.817871 54.584796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95290662-0.95268442) × R
    0.000222200000000061 × 6371000     		dl = 1415.63620000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95290662-0.95268442) × R
    0.000222200000000061 × 6371000     		dr = 1415.63620000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02101969-2.02140318) × cos(0.95290662) × R
    0.000383489999999931 × 0.579316345862885 × 6371000     		do = 1415.3942643007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02101969-2.02140318) × cos(0.95268442) × R
    0.000383489999999931 × 0.579497447401879 × 6371000     		du = 1415.83673425926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95290662)-sin(0.95268442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579316345862885-0.579497447401879)×R²
    abs(2.02140318-2.02101969)×0.000181101538993533×R²
    0.000383489999999931×0.000181101538993533×6371000²
    0.000383489999999931×0.000181101538993533×40589641000000     		ar = 2003996.55430823m²