Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13462 / 3124
↖ ↑ ↗
← N 81.004326°
W 32.102051°		 ← 191.01 m → N 81.004326°
W 32.091065°		 →
↑
191 m
↓
↑
191 m
↓
N 81.002608°
W 32.102051°		 ← 191.04 m →
36 486 m²		 N 81.002608°
W 32.091065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410842895507812 y=0.0953521728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410842895507812 × 215)
    floor (0.410842895507812 × 32768)
    floor (13462.5)     		tx = 13462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0953521728515625 × 215)
    floor (0.0953521728515625 × 32768)
    floor (3124.5)     		ty = 3124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13462 / 3124 ti = "15/13462/3124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13462/3124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13462 ÷ 215
    13462 ÷ 32768     		x = 0.41082763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3124 ÷ 215
    3124 ÷ 32768     		y = 0.0953369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41082763671875 × 2 - 1) × π
    -0.1783447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56028648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0953369140625 × 2 - 1) × π
    0.809326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54257315584778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56028648} λ = -0.56028648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54257315584778))-π/2
    2×atan(12.7123397532493)-π/2
    2×1.49229425846156-π/2
    2.98458851692311-1.57079632675     		φ = 1.41379219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56028648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.102051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41379219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.004326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13462 KachelY 3124 -0.56028648 1.41379219 -32.102051 81.004326
    Oben rechts KachelX + 1 13463 KachelY 3124 -0.56009474 1.41379219 -32.091065 81.004326
    Unten links KachelX 13462 KachelY + 1 3125 -0.56028648 1.41376221 -32.102051 81.002608
    Unten rechts KachelX + 1 13463 KachelY + 1 3125 -0.56009474 1.41376221 -32.091065 81.002608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41379219-1.41376221) × R
    2.9979999999874e-05 × 6371000     		dl = 191.002579999197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41379219-1.41376221) × R
    2.9979999999874e-05 × 6371000     		dr = 191.002579999197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56028648--0.56009474) × cos(1.41379219) × R
    0.000191739999999996 × 0.156359898189517 × 6371000     		do = 191.0054270652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56028648--0.56009474) × cos(1.41376221) × R
    0.000191739999999996 × 0.15638950936968 × 6371000     		du = 191.041599358597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41379219)-sin(1.41376221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156359898189517-0.15638950936968)×R²
    abs(-0.56009474--0.56028648)×2.96111801624532e-05×R²
    0.000191739999999996×2.96111801624532e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.96111801624532e-05×40589641000000     		ar = 36485.9838667191m²