Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13461 / 3114
↖ ↑ ↗
← N 81.021487°
W 32.113037°		 ← 190.65 m → N 81.021487°
W 32.102051°		 →
↑
190.62 m
↓
↑
190.62 m
↓
N 81.019773°
W 32.113037°		 ← 190.69 m →
36 346 m²		 N 81.019773°
W 32.102051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410812377929688 y=0.0950469970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410812377929688 × 215)
    floor (0.410812377929688 × 32768)
    floor (13461.5)     		tx = 13461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0950469970703125 × 215)
    floor (0.0950469970703125 × 32768)
    floor (3114.5)     		ty = 3114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13461 / 3114 ti = "15/13461/3114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13461/3114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13461 ÷ 215
    13461 ÷ 32768     		x = 0.410797119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3114 ÷ 215
    3114 ÷ 32768     		y = 0.09503173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410797119140625 × 2 - 1) × π
    -0.17840576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56047823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09503173828125 × 2 - 1) × π
    0.8099365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54449063183258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56047823} λ = -0.56047823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54449063183258))-π/2
    2×atan(12.7367387442007)-π/2
    2×1.49244402476875-π/2
    2.98488804953751-1.57079632675     		φ = 1.41409172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56047823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.113037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41409172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.021487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13461 KachelY 3114 -0.56047823 1.41409172 -32.113037 81.021487
    Oben rechts KachelX + 1 13462 KachelY 3114 -0.56028648 1.41409172 -32.102051 81.021487
    Unten links KachelX 13461 KachelY + 1 3115 -0.56047823 1.41406180 -32.113037 81.019773
    Unten rechts KachelX + 1 13462 KachelY + 1 3115 -0.56028648 1.41406180 -32.102051 81.019773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41409172-1.41406180) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dl = 190.620320000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41409172-1.41406180) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dr = 190.620320000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56047823--0.56028648) × cos(1.41409172) × R
    0.000191749999999935 × 0.156064045354463 × 6371000     		do = 190.653963318727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56047823--0.56028648) × cos(1.41406180) × R
    0.000191749999999935 × 0.156093598672992 × 6371000     		du = 190.69006681261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41409172)-sin(1.41406180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156064045354463-0.156093598672992)×R²
    abs(-0.56028648--0.56047823)×2.95533185291075e-05×R²
    0.000191749999999935×2.95533185291075e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.95533185291075e-05×40589641000000     		ar = 36345.9605296786m²