Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13460 / 5292
↖ ↑ ↗
← N 53.592505°
E115.751953°		 ← 1 450.11 m → N 53.592505°
E115.773926°		 →
↑
1 450.36 m
↓
↑
1 450.36 m
↓
N 53.579461°
E115.751953°		 ← 1 450.55 m →
2 103 499 m²		 N 53.579461°
E115.773926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821563720703125 y=0.323028564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821563720703125 × 214)
    floor (0.821563720703125 × 16384)
    floor (13460.5)     		tx = 13460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323028564453125 × 214)
    floor (0.323028564453125 × 16384)
    floor (5292.5)     		ty = 5292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13460 / 5292 ti = "14/13460/5292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13460/5292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13460 ÷ 214
    13460 ÷ 16384     		x = 0.821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5292 ÷ 214
    5292 ÷ 16384     		y = 0.322998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821533203125 × 2 - 1) × π
    0.64306640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02025270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322998046875 × 2 - 1) × π
    0.35400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1121360711853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02025270} λ = 2.02025270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1121360711853))-π/2
    2×atan(3.040846927485)-π/2
    2×1.25308099504233-π/2
    2.50616199008466-1.57079632675     		φ = 0.93536566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02025270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93536566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.592505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13460 KachelY 5292 2.02025270 0.93536566 115.751953 53.592505
    Oben rechts KachelX + 1 13461 KachelY 5292 2.02063619 0.93536566 115.773926 53.592505
    Unten links KachelX 13460 KachelY + 1 5293 2.02025270 0.93513801 115.751953 53.579461
    Unten rechts KachelX + 1 13461 KachelY + 1 5293 2.02063619 0.93513801 115.773926 53.579461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93536566-0.93513801) × R
    0.000227650000000024 × 6371000     		dl = 1450.35815000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93536566-0.93513801) × R
    0.000227650000000024 × 6371000     		dr = 1450.35815000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02025270-2.02063619) × cos(0.93536566) × R
    0.000383489999999931 × 0.593524176982808 × 6371000     		do = 1450.10704742671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02025270-2.02063619) × cos(0.93513801) × R
    0.000383489999999931 × 0.593707378000488 × 6371000     		du = 1450.55464686265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93536566)-sin(0.93513801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593524176982808-0.593707378000488)×R²
    abs(2.02063619-2.02025270)×0.000183201017679546×R²
    0.000383489999999931×0.000183201017679546×6371000²
    0.000383489999999931×0.000183201017679546×40589641000000     		ar = 2103499.1734366m²