Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13458 / 5223
↖ ↑ ↗
← N 54.482805°
E115.708008°		 ← 1 419.38 m → N 54.482805°
E115.729980°		 →
↑
1 419.65 m
↓
↑
1 419.65 m
↓
N 54.470038°
E115.708008°		 ← 1 419.82 m →
2 015 336 m²		 N 54.470038°
E115.729980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821441650390625 y=0.318817138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821441650390625 × 214)
    floor (0.821441650390625 × 16384)
    floor (13458.5)     		tx = 13458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318817138671875 × 214)
    floor (0.318817138671875 × 16384)
    floor (5223.5)     		ty = 5223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13458 / 5223 ti = "14/13458/5223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13458/5223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13458 ÷ 214
    13458 ÷ 16384     		x = 0.8214111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5223 ÷ 214
    5223 ÷ 16384     		y = 0.31878662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8214111328125 × 2 - 1) × π
    0.642822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01948571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31878662109375 × 2 - 1) × π
    0.3624267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13859723977557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01948571} λ = 2.01948571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13859723977557))-π/2
    2×atan(3.12238533378226)-π/2
    2×1.26085032603064-π/2
    2.52170065206129-1.57079632675     		φ = 0.95090433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01948571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.708008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95090433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.482805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13458 KachelY 5223 2.01948571 0.95090433 115.708008 54.482805
    Oben rechts KachelX + 1 13459 KachelY 5223 2.01986920 0.95090433 115.729980 54.482805
    Unten links KachelX 13458 KachelY + 1 5224 2.01948571 0.95068150 115.708008 54.470038
    Unten rechts KachelX + 1 13459 KachelY + 1 5224 2.01986920 0.95068150 115.729980 54.470038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95090433-0.95068150) × R
    0.000222830000000007 × 6371000     		dl = 1419.64993000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95090433-0.95068150) × R
    0.000222830000000007 × 6371000     		dr = 1419.64993000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01948571-2.01986920) × cos(0.95090433) × R
    0.000383489999999931 × 0.580947255666794 × 6371000     		do = 1419.37892725477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01948571-2.01986920) × cos(0.95068150) × R
    0.000383489999999931 × 0.581128611761183 × 6371000     		du = 1419.82201914684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95090433)-sin(0.95068150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580947255666794-0.581128611761183)×R²
    abs(2.01986920-2.01948571)×0.00018135609438974×R²
    0.000383489999999931×0.00018135609438974×6371000²
    0.000383489999999931×0.00018135609438974×40589641000000     		ar = 2015335.72074637m²