Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13458 / 2734
↖ ↑ ↗
← N 81.650118°
W 32.145996°		 ← 177.39 m → N 81.650118°
W 32.135010°		 →
↑
177.43 m
↓
↑
177.43 m
↓
N 81.648523°
W 32.145996°		 ← 177.43 m →
31 478 m²		 N 81.648523°
W 32.135010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410720825195312 y=0.0834503173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410720825195312 × 215)
    floor (0.410720825195312 × 32768)
    floor (13458.5)     		tx = 13458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0834503173828125 × 215)
    floor (0.0834503173828125 × 32768)
    floor (2734.5)     		ty = 2734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13458 / 2734 ti = "15/13458/2734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13458/2734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13458 ÷ 215
    13458 ÷ 32768     		x = 0.41070556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2734 ÷ 215
    2734 ÷ 32768     		y = 0.08343505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41070556640625 × 2 - 1) × π
    -0.1785888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56105347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08343505859375 × 2 - 1) × π
    0.8331298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.61735471925507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56105347} λ = -0.56105347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61735471925507))-π/2
    2×atan(13.6994367555461)-π/2
    2×1.49792986152036-π/2
    2.99585972304072-1.57079632675     		φ = 1.42506340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56105347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.145996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42506340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.650118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13458 KachelY 2734 -0.56105347 1.42506340 -32.145996 81.650118
    Oben rechts KachelX + 1 13459 KachelY 2734 -0.56086173 1.42506340 -32.135010 81.650118
    Unten links KachelX 13458 KachelY + 1 2735 -0.56105347 1.42503555 -32.145996 81.648523
    Unten rechts KachelX + 1 13459 KachelY + 1 2735 -0.56086173 1.42503555 -32.135010 81.648523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42506340-1.42503555) × R
    2.78499999999404e-05 × 6371000     		dl = 177.43234999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42506340-1.42503555) × R
    2.78499999999404e-05 × 6371000     		dr = 177.43234999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56105347--0.56086173) × cos(1.42506340) × R
    0.000191740000000107 × 0.145217626228376 × 6371000     		do = 177.394300177546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56105347--0.56086173) × cos(1.42503555) × R
    0.000191740000000107 × 0.145245180954752 × 6371000     		du = 177.427960357297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42506340)-sin(1.42503555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145217626228376-0.145245180954752)×R²
    abs(-0.56086173--0.56105347)×2.75547263753062e-05×R²
    0.000191740000000107×2.75547263753062e-05×6371000²
    0.000191740000000107×2.75547263753062e-05×40589641000000     		ar = 31478.4737621586m²