Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13457 / 3468
↖ ↑ ↗
← N 80.393732°
W 32.156982°		 ← 203.86 m → N 80.393732°
W 32.145996°		 →
↑
203.87 m
↓
↑
203.87 m
↓
N 80.391898°
W 32.156982°		 ← 203.90 m →
41 566 m²		 N 80.391898°
W 32.145996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410690307617188 y=0.105850219726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410690307617188 × 215)
    floor (0.410690307617188 × 32768)
    floor (13457.5)     		tx = 13457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105850219726562 × 215)
    floor (0.105850219726562 × 32768)
    floor (3468.5)     		ty = 3468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13457 / 3468 ti = "15/13457/3468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13457/3468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13457 ÷ 215
    13457 ÷ 32768     		x = 0.410675048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3468 ÷ 215
    3468 ÷ 32768     		y = 0.1058349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410675048828125 × 2 - 1) × π
    -0.17864990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56124522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1058349609375 × 2 - 1) × π
    0.788330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47661198197058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56124522} λ = -0.56124522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47661198197058))-π/2
    2×atan(11.9008756562677)-π/2
    2×1.48696582449431-π/2
    2.97393164898861-1.57079632675     		φ = 1.40313532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56124522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.156982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40313532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.393732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13457 KachelY 3468 -0.56124522 1.40313532 -32.156982 80.393732
    Oben rechts KachelX + 1 13458 KachelY 3468 -0.56105347 1.40313532 -32.145996 80.393732
    Unten links KachelX 13457 KachelY + 1 3469 -0.56124522 1.40310332 -32.156982 80.391898
    Unten rechts KachelX + 1 13458 KachelY + 1 3469 -0.56105347 1.40310332 -32.145996 80.391898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40313532-1.40310332) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dl = 203.872000000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40313532-1.40310332) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dr = 203.872000000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56124522--0.56105347) × cos(1.40313532) × R
    0.000191749999999935 × 0.166876612307392 × 6371000     		do = 203.863019501674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56124522--0.56105347) × cos(1.40310332) × R
    0.000191749999999935 × 0.166908163511127 × 6371000     		du = 203.901563690541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40313532)-sin(1.40310332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166876612307392-0.166908163511127)×R²
    abs(-0.56105347--0.56124522)×3.15512037346866e-05×R²
    0.000191749999999935×3.15512037346866e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.15512037346866e-05×40589641000000     		ar = 41565.8905557871m²