Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13456 / 2737
↖ ↑ ↗
← N 81.645331°
W 32.167969°		 ← 177.50 m → N 81.645331°
W 32.156982°		 →
↑
177.56 m
↓
↑
177.56 m
↓
N 81.643734°
W 32.167969°		 ← 177.54 m →
31 521 m²		 N 81.643734°
W 32.156982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410659790039062 y=0.0835418701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410659790039062 × 215)
    floor (0.410659790039062 × 32768)
    floor (13456.5)     		tx = 13456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0835418701171875 × 215)
    floor (0.0835418701171875 × 32768)
    floor (2737.5)     		ty = 2737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13456 / 2737 ti = "15/13456/2737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13456/2737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13456 ÷ 215
    13456 ÷ 32768     		x = 0.41064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2737 ÷ 215
    2737 ÷ 32768     		y = 0.083526611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41064453125 × 2 - 1) × π
    -0.1787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56143697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083526611328125 × 2 - 1) × π
    0.83294677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.61677947645963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56143697} λ = -0.56143697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61677947645963))-π/2
    2×atan(13.6915585194174)-π/2
    2×1.49788808193452-π/2
    2.99577616386903-1.57079632675     		φ = 1.42497984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56143697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.167969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42497984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.645331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13456 KachelY 2737 -0.56143697 1.42497984 -32.167969 81.645331
    Oben rechts KachelX + 1 13457 KachelY 2737 -0.56124522 1.42497984 -32.156982 81.645331
    Unten links KachelX 13456 KachelY + 1 2738 -0.56143697 1.42495197 -32.167969 81.643734
    Unten rechts KachelX + 1 13457 KachelY + 1 2738 -0.56124522 1.42495197 -32.156982 81.643734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42497984-1.42495197) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dl = 177.559770000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42497984-1.42495197) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dr = 177.559770000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56143697--0.56124522) × cos(1.42497984) × R
    0.000191750000000046 × 0.145300299963391 × 6371000     		do = 177.504549472094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56143697--0.56124522) × cos(1.42495197) × R
    0.000191750000000046 × 0.145327874139366 × 6371000     		du = 177.538235167753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42497984)-sin(1.42495197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145300299963391-0.145327874139366)×R²
    abs(-0.56124522--0.56143697)×2.75741759755699e-05×R²
    0.000191750000000046×2.75741759755699e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.75741759755699e-05×40589641000000     		ar = 31520.6575931409m²