Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13456 / 2735
↖ ↑ ↗
← N 81.648523°
W 32.167969°		 ← 177.44 m → N 81.648523°
W 32.156982°		 →
↑
177.43 m
↓
↑
177.43 m
↓
N 81.646927°
W 32.167969°		 ← 177.47 m →
31 486 m²		 N 81.646927°
W 32.156982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410659790039062 y=0.0834808349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410659790039062 × 215)
    floor (0.410659790039062 × 32768)
    floor (13456.5)     		tx = 13456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0834808349609375 × 215)
    floor (0.0834808349609375 × 32768)
    floor (2735.5)     		ty = 2735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13456 / 2735 ti = "15/13456/2735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13456/2735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13456 ÷ 215
    13456 ÷ 32768     		x = 0.41064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2735 ÷ 215
    2735 ÷ 32768     		y = 0.083465576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41064453125 × 2 - 1) × π
    -0.1787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56143697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083465576171875 × 2 - 1) × π
    0.83306884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.61716297165659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56143697} λ = -0.56143697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61716297165659))-π/2
    2×atan(13.6968101732762)-π/2
    2×1.49791593763372-π/2
    2.99583187526744-1.57079632675     		φ = 1.42503555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56143697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.167969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42503555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.648523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13456 KachelY 2735 -0.56143697 1.42503555 -32.167969 81.648523
    Oben rechts KachelX + 1 13457 KachelY 2735 -0.56124522 1.42503555 -32.156982 81.648523
    Unten links KachelX 13456 KachelY + 1 2736 -0.56143697 1.42500770 -32.167969 81.646927
    Unten rechts KachelX + 1 13457 KachelY + 1 2736 -0.56124522 1.42500770 -32.156982 81.646927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42503555-1.42500770) × R
    2.78499999999404e-05 × 6371000     		dl = 177.43234999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42503555-1.42500770) × R
    2.78499999999404e-05 × 6371000     		dr = 177.43234999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56143697--0.56124522) × cos(1.42503555) × R
    0.000191750000000046 × 0.145245180954752 × 6371000     		do = 177.43721392772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56143697--0.56124522) × cos(1.42500770) × R
    0.000191750000000046 × 0.145272735568472 × 6371000     		du = 177.470875725359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42503555)-sin(1.42500770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145245180954752-0.145272735568472)×R²
    abs(-0.56124522--0.56143697)×2.75546137198657e-05×R²
    0.000191750000000046×2.75546137198657e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.75546137198657e-05×40589641000000     		ar = 31486.0881925945m²