Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13456 / 12532
↖ ↑ ↗
← S 68.560384°
E115.664063°		 ← 893.05 m → S 68.560384°
E115.686035°		 →
↑
892.90 m
↓
↑
892.90 m
↓
S 68.568414°
E115.664063°		 ← 892.73 m →
797 254 m²		 S 68.568414°
E115.686035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821319580078125 y=0.764923095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821319580078125 × 214)
    floor (0.821319580078125 × 16384)
    floor (13456.5)     		tx = 13456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764923095703125 × 214)
    floor (0.764923095703125 × 16384)
    floor (12532.5)     		ty = 12532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13456 / 12532 ti = "14/13456/12532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13456/12532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13456 ÷ 214
    13456 ÷ 16384     		x = 0.8212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12532 ÷ 214
    12532 ÷ 16384     		y = 0.764892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8212890625 × 2 - 1) × π
    0.642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01871872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764892578125 × 2 - 1) × π
    -0.52978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66436915480835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01871872} λ = 2.01871872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66436915480835))-π/2
    2×atan(0.189310045652485)-π/2
    2×0.187095947524891-π/2
    0.374191895049781-1.57079632675     		φ = -1.19660443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01871872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.664063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19660443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.560384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13456 KachelY 12532 2.01871872 -1.19660443 115.664063 -68.560384
    Oben rechts KachelX + 1 13457 KachelY 12532 2.01910221 -1.19660443 115.686035 -68.560384
    Unten links KachelX 13456 KachelY + 1 12533 2.01871872 -1.19674458 115.664063 -68.568414
    Unten rechts KachelX + 1 13457 KachelY + 1 12533 2.01910221 -1.19674458 115.686035 -68.568414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19660443--1.19674458) × R
    0.000140150000000006 × 6371000     		dl = 892.895650000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19660443--1.19674458) × R
    0.000140150000000006 × 6371000     		dr = 892.895650000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01871872-2.01910221) × cos(-1.19660443) × R
    0.000383489999999931 × 0.365520463382635 × 6371000     		do = 893.045002183945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01871872-2.01910221) × cos(-1.19674458) × R
    0.000383489999999931 × 0.365390007710217 × 6371000     		du = 892.726270955656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19660443)-sin(-1.19674458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365520463382635-0.365390007710217)×R²
    abs(2.01910221-2.01871872)×0.000130455672417484×R²
    0.000383489999999931×0.000130455672417484×6371000²
    0.000383489999999931×0.000130455672417484×40589641000000     		ar = 797253.702144569m²