Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13455 / 3469
↖ ↑ ↗
← N 80.391898°
W 32.178955°		 ← 203.90 m → N 80.391898°
W 32.167969°		 →
↑
203.94 m
↓
↑
203.94 m
↓
N 80.390064°
W 32.178955°		 ← 203.94 m →
41 587 m²		 N 80.390064°
W 32.167969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410629272460938 y=0.105880737304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410629272460938 × 215)
    floor (0.410629272460938 × 32768)
    floor (13455.5)     		tx = 13455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105880737304688 × 215)
    floor (0.105880737304688 × 32768)
    floor (3469.5)     		ty = 3469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13455 / 3469 ti = "15/13455/3469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13455/3469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13455 ÷ 215
    13455 ÷ 32768     		x = 0.410614013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3469 ÷ 215
    3469 ÷ 32768     		y = 0.105865478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410614013671875 × 2 - 1) × π
    -0.17877197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56162872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105865478515625 × 2 - 1) × π
    0.78826904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4764202343721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56162872} λ = -0.56162872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4764202343721))-π/2
    2×atan(11.8985939107074)-π/2
    2×1.48694982388721-π/2
    2.97389964777442-1.57079632675     		φ = 1.40310332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56162872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.178955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40310332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.391898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13455 KachelY 3469 -0.56162872 1.40310332 -32.178955 80.391898
    Oben rechts KachelX + 1 13456 KachelY 3469 -0.56143697 1.40310332 -32.167969 80.391898
    Unten links KachelX 13455 KachelY + 1 3470 -0.56162872 1.40307131 -32.178955 80.390064
    Unten rechts KachelX + 1 13456 KachelY + 1 3470 -0.56143697 1.40307131 -32.167969 80.390064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40310332-1.40307131) × R
    3.20099999999712e-05 × 6371000     		dl = 203.935709999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40310332-1.40307131) × R
    3.20099999999712e-05 × 6371000     		dr = 203.935709999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56162872--0.56143697) × cos(1.40310332) × R
    0.000191749999999935 × 0.166908163511127 × 6371000     		do = 203.901563690541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56162872--0.56143697) × cos(1.40307131) × R
    0.000191749999999935 × 0.166939724403619 × 6371000     		du = 203.940119715574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40310332)-sin(1.40307131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166908163511127-0.166939724403619)×R²
    abs(-0.56143697--0.56162872)×3.15608924917332e-05×R²
    0.000191749999999935×3.15608924917332e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.15608924917332e-05×40589641000000     		ar = 41586.7416401426m²