Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13455 / 3119
↖ ↑ ↗
← N 81.012911°
W 32.178955°		 ← 190.83 m → N 81.012911°
W 32.167969°		 →
↑
190.88 m
↓
↑
190.88 m
↓
N 81.011194°
W 32.178955°		 ← 190.87 m →
36 429 m²		 N 81.011194°
W 32.167969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410629272460938 y=0.0951995849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410629272460938 × 215)
    floor (0.410629272460938 × 32768)
    floor (13455.5)     		tx = 13455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0951995849609375 × 215)
    floor (0.0951995849609375 × 32768)
    floor (3119.5)     		ty = 3119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13455 / 3119 ti = "15/13455/3119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13455/3119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13455 ÷ 215
    13455 ÷ 32768     		x = 0.410614013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3119 ÷ 215
    3119 ÷ 32768     		y = 0.095184326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410614013671875 × 2 - 1) × π
    -0.17877197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56162872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095184326171875 × 2 - 1) × π
    0.80963134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.54353189384018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56162872} λ = -0.56162872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54353189384018))-π/2
    2×atan(12.7245334006655)-π/2
    2×1.49236917707113-π/2
    2.98473835414226-1.57079632675     		φ = 1.41394203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56162872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.178955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41394203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.012911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13455 KachelY 3119 -0.56162872 1.41394203 -32.178955 81.012911
    Oben rechts KachelX + 1 13456 KachelY 3119 -0.56143697 1.41394203 -32.167969 81.012911
    Unten links KachelX 13455 KachelY + 1 3120 -0.56162872 1.41391207 -32.178955 81.011194
    Unten rechts KachelX + 1 13456 KachelY + 1 3120 -0.56143697 1.41391207 -32.167969 81.011194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41394203-1.41391207) × R
    2.99599999999955e-05 × 6371000     		dl = 190.875159999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41394203-1.41391207) × R
    2.99599999999955e-05 × 6371000     		dr = 190.875159999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56162872--0.56143697) × cos(1.41394203) × R
    0.000191749999999935 × 0.156211899444605 × 6371000     		do = 190.834587678519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56162872--0.56143697) × cos(1.41391207) × R
    0.000191749999999935 × 0.156241491572525 × 6371000     		du = 190.870738583476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41394203)-sin(1.41391207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156211899444605-0.156241491572525)×R²
    abs(-0.56143697--0.56162872)×2.95921279194478e-05×R²
    0.000191749999999935×2.95921279194478e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.95921279194478e-05×40589641000000     		ar = 36429.0326144519m²