Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13455 / 2738
↖ ↑ ↗
← N 81.643734°
W 32.178955°		 ← 177.54 m → N 81.643734°
W 32.167969°		 →
↑
177.56 m
↓
↑
177.56 m
↓
N 81.642137°
W 32.178955°		 ← 177.57 m →
31 527 m²		 N 81.642137°
W 32.167969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410629272460938 y=0.0835723876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410629272460938 × 215)
    floor (0.410629272460938 × 32768)
    floor (13455.5)     		tx = 13455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0835723876953125 × 215)
    floor (0.0835723876953125 × 32768)
    floor (2738.5)     		ty = 2738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13455 / 2738 ti = "15/13455/2738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13455/2738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13455 ÷ 215
    13455 ÷ 32768     		x = 0.410614013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2738 ÷ 215
    2738 ÷ 32768     		y = 0.08355712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410614013671875 × 2 - 1) × π
    -0.17877197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56162872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08355712890625 × 2 - 1) × π
    0.8328857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.61658772886115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56162872} λ = -0.56162872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61658772886115))-π/2
    2×atan(13.6889334476355)-π/2
    2×1.49787415012097-π/2
    2.99574830024195-1.57079632675     		φ = 1.42495197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56162872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.178955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42495197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.643734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13455 KachelY 2738 -0.56162872 1.42495197 -32.178955 81.643734
    Oben rechts KachelX + 1 13456 KachelY 2738 -0.56143697 1.42495197 -32.167969 81.643734
    Unten links KachelX 13455 KachelY + 1 2739 -0.56162872 1.42492410 -32.178955 81.642137
    Unten rechts KachelX + 1 13456 KachelY + 1 2739 -0.56143697 1.42492410 -32.167969 81.642137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42495197-1.42492410) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dl = 177.559770000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42495197-1.42492410) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dr = 177.559770000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56162872--0.56143697) × cos(1.42495197) × R
    0.000191749999999935 × 0.145327874139366 × 6371000     		do = 177.53823516765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56162872--0.56143697) × cos(1.42492410) × R
    0.000191749999999935 × 0.14535544820246 × 6371000     		du = 177.571920725407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42495197)-sin(1.42492410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145327874139366-0.14535544820246)×R²
    abs(-0.56143697--0.56162872)×2.75740630940324e-05×R²
    0.000191749999999935×2.75740630940324e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.75740630940324e-05×40589641000000     		ar = 31526.6388044208m²