Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13453 / 6799
↖ ↑ ↗
← N 29.248063°
E115.598144°		 ← 2 131.79 m → N 29.248063°
E115.620117°		 →
↑
2 131.93 m
↓
↑
2 131.93 m
↓
N 29.228890°
E115.598144°		 ← 2 132.19 m →
4 545 250 m²		 N 29.228890°
E115.620117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821136474609375 y=0.415008544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821136474609375 × 214)
    floor (0.821136474609375 × 16384)
    floor (13453.5)     		tx = 13453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415008544921875 × 214)
    floor (0.415008544921875 × 16384)
    floor (6799.5)     		ty = 6799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13453 / 6799 ti = "14/13453/6799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13453/6799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13453 ÷ 214
    13453 ÷ 16384     		x = 0.82110595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6799 ÷ 214
    6799 ÷ 16384     		y = 0.41497802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82110595703125 × 2 - 1) × π
    0.6422119140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01756823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41497802734375 × 2 - 1) × π
    0.1700439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.534208809365906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01756823} λ = 2.01756823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.534208809365906))-π/2
    2×atan(1.70609785947229)-π/2
    2×1.04063566510868-π/2
    2.08127133021736-1.57079632675     		φ = 0.51047500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01756823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.598144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51047500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.248063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13453 KachelY 6799 2.01756823 0.51047500 115.598144 29.248063
    Oben rechts KachelX + 1 13454 KachelY 6799 2.01795173 0.51047500 115.620117 29.248063
    Unten links KachelX 13453 KachelY + 1 6800 2.01756823 0.51014037 115.598144 29.228890
    Unten rechts KachelX + 1 13454 KachelY + 1 6800 2.01795173 0.51014037 115.620117 29.228890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51047500-0.51014037) × R
    0.000334630000000002 × 6371000     		dl = 2131.92773000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51047500-0.51014037) × R
    0.000334630000000002 × 6371000     		dr = 2131.92773000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01756823-2.01795173) × cos(0.51047500) × R
    0.00038349999999987 × 0.872512525005714 × 6371000     		do = 2131.79109332645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01756823-2.01795173) × cos(0.51014037) × R
    0.00038349999999987 × 0.872675973607667 × 6371000     		du = 2132.19044378146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51047500)-sin(0.51014037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872512525005714-0.872675973607667)×R²
    abs(2.01795173-2.01756823)×0.000163448601953498×R²
    0.00038349999999987×0.000163448601953498×6371000²
    0.00038349999999987×0.000163448601953498×40589641000000     		ar = 4545250.28199836m²