Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13452 / 5228
↖ ↑ ↗
← N 54.418930°
E115.576172°		 ← 1 421.60 m → N 54.418930°
E115.598144°		 →
↑
1 421.82 m
↓
↑
1 421.82 m
↓
N 54.406143°
E115.576172°		 ← 1 422.04 m →
2 021 562 m²		 N 54.406143°
E115.598144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821075439453125 y=0.319122314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821075439453125 × 214)
    floor (0.821075439453125 × 16384)
    floor (13452.5)     		tx = 13452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319122314453125 × 214)
    floor (0.319122314453125 × 16384)
    floor (5228.5)     		ty = 5228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13452 / 5228 ti = "14/13452/5228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13452/5228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13452 ÷ 214
    13452 ÷ 16384     		x = 0.821044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5228 ÷ 214
    5228 ÷ 16384     		y = 0.319091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821044921875 × 2 - 1) × π
    0.64208984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01718474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319091796875 × 2 - 1) × π
    0.36181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13667976379077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01718474} λ = 2.01718474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13667976379077))-π/2
    2×atan(3.11640397128155)-π/2
    2×1.26029291507065-π/2
    2.52058583014129-1.57079632675     		φ = 0.94978950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01718474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.576172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94978950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.418930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13452 KachelY 5228 2.01718474 0.94978950 115.576172 54.418930
    Oben rechts KachelX + 1 13453 KachelY 5228 2.01756823 0.94978950 115.598144 54.418930
    Unten links KachelX 13452 KachelY + 1 5229 2.01718474 0.94956633 115.576172 54.406143
    Unten rechts KachelX + 1 13453 KachelY + 1 5229 2.01756823 0.94956633 115.598144 54.406143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94978950-0.94956633) × R
    0.000223169999999939 × 6371000     		dl = 1421.81606999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94978950-0.94956633) × R
    0.000223169999999939 × 6371000     		dr = 1421.81606999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01718474-2.01756823) × cos(0.94978950) × R
    0.000383490000000375 × 0.581854300539116 × 6371000     		do = 1421.59503270366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01718474-2.01756823) × cos(0.94956633) × R
    0.000383490000000375 × 0.582035788656316 × 6371000     		du = 1422.03844715582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94978950)-sin(0.94956633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581854300539116-0.582035788656316)×R²
    abs(2.01756823-2.01718474)×0.000181488117200534×R²
    0.000383490000000375×0.000181488117200534×6371000²
    0.000383490000000375×0.000181488117200534×40589641000000     		ar = 2021561.89781654m²