Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13452 / 2700
↖ ↑ ↗
← N 81.704187°
W 32.211914°		 ← 176.26 m → N 81.704187°
W 32.200928°		 →
↑
176.22 m
↓
↑
176.22 m
↓
N 81.702602°
W 32.211914°		 ← 176.30 m →
31 064 m²		 N 81.702602°
W 32.200928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410537719726562 y=0.0824127197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410537719726562 × 215)
    floor (0.410537719726562 × 32768)
    floor (13452.5)     		tx = 13452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0824127197265625 × 215)
    floor (0.0824127197265625 × 32768)
    floor (2700.5)     		ty = 2700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13452 / 2700 ti = "15/13452/2700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13452/2700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13452 ÷ 215
    13452 ÷ 32768     		x = 0.4105224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2700 ÷ 215
    2700 ÷ 32768     		y = 0.0823974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4105224609375 × 2 - 1) × π
    -0.178955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56220396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0823974609375 × 2 - 1) × π
    0.835205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.62387413760339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56220396} λ = -0.56220396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62387413760339))-π/2
    2×atan(13.7890408809127)-π/2
    2×1.49840170528512-π/2
    2.99680341057023-1.57079632675     		φ = 1.42600708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56220396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.211914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42600708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.704187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13452 KachelY 2700 -0.56220396 1.42600708 -32.211914 81.704187
    Oben rechts KachelX + 1 13453 KachelY 2700 -0.56201221 1.42600708 -32.200928 81.704187
    Unten links KachelX 13452 KachelY + 1 2701 -0.56220396 1.42597942 -32.211914 81.702602
    Unten rechts KachelX + 1 13453 KachelY + 1 2701 -0.56201221 1.42597942 -32.200928 81.702602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42600708-1.42597942) × R
    2.76599999999849e-05 × 6371000     		dl = 176.221859999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42600708-1.42597942) × R
    2.76599999999849e-05 × 6371000     		dr = 176.221859999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56220396--0.56201221) × cos(1.42600708) × R
    0.000191749999999935 × 0.144283884961985 × 6371000     		do = 176.262857011986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56220396--0.56201221) × cos(1.42597942) × R
    0.000191749999999935 × 0.144311255481845 × 6371000     		du = 176.29629391334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42600708)-sin(1.42597942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144283884961985-0.144311255481845)×R²
    abs(-0.56201221--0.56220396)×2.73705198600704e-05×R²
    0.000191749999999935×2.73705198600704e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.73705198600704e-05×40589641000000     		ar = 31064.3146704449m²