Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13451 / 5227
↖ ↑ ↗
← N 54.431713°
E115.554199°		 ← 1 421.19 m → N 54.431713°
E115.576172°		 →
↑
1 421.43 m
↓
↑
1 421.43 m
↓
N 54.418930°
E115.554199°		 ← 1 421.63 m →
2 020 441 m²		 N 54.418930°
E115.576172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821014404296875 y=0.319061279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821014404296875 × 214)
    floor (0.821014404296875 × 16384)
    floor (13451.5)     		tx = 13451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319061279296875 × 214)
    floor (0.319061279296875 × 16384)
    floor (5227.5)     		ty = 5227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13451 / 5227 ti = "14/13451/5227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13451/5227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13451 ÷ 214
    13451 ÷ 16384     		x = 0.82098388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5227 ÷ 214
    5227 ÷ 16384     		y = 0.31903076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82098388671875 × 2 - 1) × π
    0.6419677734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01680124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31903076171875 × 2 - 1) × π
    0.3619384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13706325898773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01680124} λ = 2.01680124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13706325898773))-π/2
    2×atan(3.11759932642816)-π/2
    2×1.26040446683693-π/2
    2.52080893367385-1.57079632675     		φ = 0.95001261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01680124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.554199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95001261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.431713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13451 KachelY 5227 2.01680124 0.95001261 115.554199 54.431713
    Oben rechts KachelX + 1 13452 KachelY 5227 2.01718474 0.95001261 115.576172 54.431713
    Unten links KachelX 13451 KachelY + 1 5228 2.01680124 0.94978950 115.554199 54.418930
    Unten rechts KachelX + 1 13452 KachelY + 1 5228 2.01718474 0.94978950 115.576172 54.418930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95001261-0.94978950) × R
    0.000223110000000082 × 6371000     		dl = 1421.43381000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95001261-0.94978950) × R
    0.000223110000000082 × 6371000     		dr = 1421.43381000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01680124-2.01718474) × cos(0.95001261) × R
    0.00038349999999987 × 0.581672832248121 × 6371000     		do = 1421.18872506546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01680124-2.01718474) × cos(0.94978950) × R
    0.00038349999999987 × 0.581854300539116 × 6371000     		du = 1421.63210263928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95001261)-sin(0.94978950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581672832248121-0.581854300539116)×R²
    abs(2.01718474-2.01680124)×0.000181468290994635×R²
    0.00038349999999987×0.000181468290994635×6371000²
    0.00038349999999987×0.000181468290994635×40589641000000     		ar = 2020440.82851914m²