Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13451 / 2701
↖ ↑ ↗
← N 81.702602°
W 32.222901°		 ← 176.30 m → N 81.702602°
W 32.211914°		 →
↑
176.35 m
↓
↑
176.35 m
↓
N 81.701016°
W 32.222901°		 ← 176.33 m →
31 093 m²		 N 81.701016°
W 32.211914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410507202148438 y=0.0824432373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410507202148438 × 215)
    floor (0.410507202148438 × 32768)
    floor (13451.5)     		tx = 13451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0824432373046875 × 215)
    floor (0.0824432373046875 × 32768)
    floor (2701.5)     		ty = 2701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13451 / 2701 ti = "15/13451/2701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13451/2701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13451 ÷ 215
    13451 ÷ 32768     		x = 0.410491943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2701 ÷ 215
    2701 ÷ 32768     		y = 0.082427978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410491943359375 × 2 - 1) × π
    -0.17901611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56239571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.082427978515625 × 2 - 1) × π
    0.83514404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.62368239000491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56239571} λ = -0.56239571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62368239000491))-π/2
    2×atan(13.7863971189141)-π/2
    2×1.49838787092882-π/2
    2.99677574185765-1.57079632675     		φ = 1.42597942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56239571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.222901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42597942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.702602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13451 KachelY 2701 -0.56239571 1.42597942 -32.222901 81.702602
    Oben rechts KachelX + 1 13452 KachelY 2701 -0.56220396 1.42597942 -32.211914 81.702602
    Unten links KachelX 13451 KachelY + 1 2702 -0.56239571 1.42595174 -32.222901 81.701016
    Unten rechts KachelX + 1 13452 KachelY + 1 2702 -0.56220396 1.42595174 -32.211914 81.701016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42597942-1.42595174) × R
    2.76800000000854e-05 × 6371000     		dl = 176.349280000544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42597942-1.42595174) × R
    2.76800000000854e-05 × 6371000     		dr = 176.349280000544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56239571--0.56220396) × cos(1.42597942) × R
    0.000191750000000046 × 0.144311255481845 × 6371000     		do = 176.296293913442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56239571--0.56220396) × cos(1.42595174) × R
    0.000191750000000046 × 0.144338645681863 × 6371000     		du = 176.32975485685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42597942)-sin(1.42595174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144311255481845-0.144338645681863)×R²
    abs(-0.56220396--0.56239571)×2.73902000181847e-05×R²
    0.000191750000000046×2.73902000181847e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.73902000181847e-05×40589641000000     		ar = 31092.6749066222m²