Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13450 / 5230
↖ ↑ ↗
← N 54.393352°
E115.532227°		 ← 1 422.48 m → N 54.393352°
E115.554199°		 →
↑
1 422.71 m
↓
↑
1 422.71 m
↓
N 54.380558°
E115.532227°		 ← 1 422.93 m →
2 024 092 m²		 N 54.380558°
E115.554199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820953369140625 y=0.319244384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820953369140625 × 214)
    floor (0.820953369140625 × 16384)
    floor (13450.5)     		tx = 13450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319244384765625 × 214)
    floor (0.319244384765625 × 16384)
    floor (5230.5)     		ty = 5230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13450 / 5230 ti = "14/13450/5230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13450/5230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13450 ÷ 214
    13450 ÷ 16384     		x = 0.8209228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5230 ÷ 214
    5230 ÷ 16384     		y = 0.3192138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8209228515625 × 2 - 1) × π
    0.641845703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01641775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3192138671875 × 2 - 1) × π
    0.361572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13591277339685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01641775} λ = 2.01641775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13591277339685))-π/2
    2×atan(3.11401463578782)-π/2
    2×1.26006970713954-π/2
    2.52013941427908-1.57079632675     		φ = 0.94934309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01641775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.532227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94934309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.393352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13450 KachelY 5230 2.01641775 0.94934309 115.532227 54.393352
    Oben rechts KachelX + 1 13451 KachelY 5230 2.01680124 0.94934309 115.554199 54.393352
    Unten links KachelX 13450 KachelY + 1 5231 2.01641775 0.94911978 115.532227 54.380558
    Unten rechts KachelX + 1 13451 KachelY + 1 5231 2.01680124 0.94911978 115.554199 54.380558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94934309-0.94911978) × R
    0.000223309999999977 × 6371000     		dl = 1422.70800999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94934309-0.94911978) × R
    0.000223309999999977 × 6371000     		dr = 1422.70800999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01641775-2.01680124) × cos(0.94934309) × R
    0.000383489999999931 × 0.582217304697639 × 6371000     		do = 1422.48192983095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01641775-2.01680124) × cos(0.94911978) × R
    0.000383489999999931 × 0.582398848626748 × 6371000     		du = 1422.92548064358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94934309)-sin(0.94911978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582217304697639-0.582398848626748)×R²
    abs(2.01680124-2.01641775)×0.000181543929108519×R²
    0.000383489999999931×0.000181543929108519×6371000²
    0.000383489999999931×0.000181543929108519×40589641000000     		ar = 2024091.96570946m²