Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13450 / 3449
↖ ↑ ↗
← N 80.428504°
W 32.233886°		 ← 203.12 m → N 80.428504°
W 32.222901°		 →
↑
203.17 m
↓
↑
203.17 m
↓
N 80.426676°
W 32.233886°		 ← 203.16 m →
41 272 m²		 N 80.426676°
W 32.222901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410476684570312 y=0.105270385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410476684570312 × 215)
    floor (0.410476684570312 × 32768)
    floor (13450.5)     		tx = 13450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105270385742188 × 215)
    floor (0.105270385742188 × 32768)
    floor (3449.5)     		ty = 3449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13450 / 3449 ti = "15/13450/3449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13450/3449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13450 ÷ 215
    13450 ÷ 32768     		x = 0.41046142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3449 ÷ 215
    3449 ÷ 32768     		y = 0.105255126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41046142578125 × 2 - 1) × π
    -0.1790771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56258745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105255126953125 × 2 - 1) × π
    0.78948974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48025518634171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56258745} λ = -0.56258745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48025518634171))-π/2
    2×atan(11.9443120542723)-π/2
    2×1.48726926195544-π/2
    2.97453852391088-1.57079632675     		φ = 1.40374220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56258745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.233886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40374220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.428504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13450 KachelY 3449 -0.56258745 1.40374220 -32.233886 80.428504
    Oben rechts KachelX + 1 13451 KachelY 3449 -0.56239571 1.40374220 -32.222901 80.428504
    Unten links KachelX 13450 KachelY + 1 3450 -0.56258745 1.40371031 -32.233886 80.426676
    Unten rechts KachelX + 1 13451 KachelY + 1 3450 -0.56239571 1.40371031 -32.222901 80.426676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40374220-1.40371031) × R
    3.18900000000344e-05 × 6371000     		dl = 203.171190000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40374220-1.40371031) × R
    3.18900000000344e-05 × 6371000     		dr = 203.171190000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56258745--0.56239571) × cos(1.40374220) × R
    0.000191739999999996 × 0.166278211414202 × 6371000     		do = 203.121395898533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56258745--0.56239571) × cos(1.40371031) × R
    0.000191739999999996 × 0.166309657385111 × 6371000     		du = 203.159809527427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40374220)-sin(1.40371031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166278211414202-0.166309657385111)×R²
    abs(-0.56239571--0.56258745)×3.14459709087889e-05×R²
    0.000191739999999996×3.14459709087889e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.14459709087889e-05×40589641000000     		ar = 41272.3179935015m²