Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13449 / 3450
↖ ↑ ↗
← N 80.426676°
W 32.244873°		 ← 203.17 m → N 80.426676°
W 32.233886°		 →
↑
203.17 m
↓
↑
203.17 m
↓
N 80.424849°
W 32.244873°		 ← 203.21 m →
41 282 m²		 N 80.424849°
W 32.233886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410446166992188 y=0.105300903320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410446166992188 × 215)
    floor (0.410446166992188 × 32768)
    floor (13449.5)     		tx = 13449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105300903320312 × 215)
    floor (0.105300903320312 × 32768)
    floor (3450.5)     		ty = 3450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13449 / 3450 ti = "15/13449/3450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13449/3450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13449 ÷ 215
    13449 ÷ 32768     		x = 0.410430908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3450 ÷ 215
    3450 ÷ 32768     		y = 0.10528564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410430908203125 × 2 - 1) × π
    -0.17913818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56277920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10528564453125 × 2 - 1) × π
    0.7894287109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48006343874323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56277920} λ = -0.56277920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48006343874323))-π/2
    2×atan(11.9420219806855)-π/2
    2×1.4872533187241-π/2
    2.97450663744819-1.57079632675     		φ = 1.40371031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56277920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.244873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40371031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.426676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13449 KachelY 3450 -0.56277920 1.40371031 -32.244873 80.426676
    Oben rechts KachelX + 1 13450 KachelY 3450 -0.56258745 1.40371031 -32.233886 80.426676
    Unten links KachelX 13449 KachelY + 1 3451 -0.56277920 1.40367842 -32.244873 80.424849
    Unten rechts KachelX + 1 13450 KachelY + 1 3451 -0.56258745 1.40367842 -32.233886 80.424849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40371031-1.40367842) × R
    3.18899999998123e-05 × 6371000     		dl = 203.171189998804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40371031-1.40367842) × R
    3.18899999998123e-05 × 6371000     		dr = 203.171189998804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56277920--0.56258745) × cos(1.40371031) × R
    0.000191750000000046 × 0.166309657385111 × 6371000     		do = 203.170405115752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56277920--0.56258745) × cos(1.40367842) × R
    0.000191750000000046 × 0.166341103186887 × 6371000     		du = 203.20882054145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40371031)-sin(1.40367842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166309657385111-0.166341103186887)×R²
    abs(-0.56258745--0.56277920)×3.14458017762753e-05×R²
    0.000191750000000046×3.14458017762753e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.14458017762753e-05×40589641000000     		ar = 41282.2754376029m²