Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13447 / 5231
↖ ↑ ↗
← N 54.380558°
E115.466309°		 ← 1 422.96 m → N 54.380558°
E115.488282°		 →
↑
1 423.22 m
↓
↑
1 423.22 m
↓
N 54.367758°
E115.466309°		 ← 1 423.41 m →
2 025 501 m²		 N 54.367758°
E115.488282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820770263671875 y=0.319305419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820770263671875 × 214)
    floor (0.820770263671875 × 16384)
    floor (13447.5)     		tx = 13447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319305419921875 × 214)
    floor (0.319305419921875 × 16384)
    floor (5231.5)     		ty = 5231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13447 / 5231 ti = "14/13447/5231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13447/5231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13447 ÷ 214
    13447 ÷ 16384     		x = 0.82073974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5231 ÷ 214
    5231 ÷ 16384     		y = 0.31927490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82073974609375 × 2 - 1) × π
    0.6414794921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01526726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31927490234375 × 2 - 1) × π
    0.3614501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13552927819989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01526726} λ = 2.01526726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13552927819989))-π/2
    2×atan(3.1128206550893)-π/2
    2×1.25995805096413-π/2
    2.51991610192826-1.57079632675     		φ = 0.94911978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01526726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.466309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94911978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.380558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13447 KachelY 5231 2.01526726 0.94911978 115.466309 54.380558
    Oben rechts KachelX + 1 13448 KachelY 5231 2.01565076 0.94911978 115.488282 54.380558
    Unten links KachelX 13447 KachelY + 1 5232 2.01526726 0.94889639 115.466309 54.367758
    Unten rechts KachelX + 1 13448 KachelY + 1 5232 2.01565076 0.94889639 115.488282 54.367758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94911978-0.94889639) × R
    0.000223389999999934 × 6371000     		dl = 1423.21768999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94911978-0.94889639) × R
    0.000223389999999934 × 6371000     		dr = 1423.21768999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01526726-2.01565076) × cos(0.94911978) × R
    0.000383500000000314 × 0.582398848626748 × 6371000     		do = 1422.96258527565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01526726-2.01565076) × cos(0.94889639) × R
    0.000383500000000314 × 0.582580428535012 × 6371000     		du = 1423.40623556155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94911978)-sin(0.94889639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582398848626748-0.582580428535012)×R²
    abs(2.01565076-2.01526726)×0.000181579908264395×R²
    0.000383500000000314×0.000181579908264395×6371000²
    0.000383500000000314×0.000181579908264395×40589641000000     		ar = 2025501.23746317m²