Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13447 / 3209
↖ ↑ ↗
← N 80.857129°
W 32.266846°		 ← 194.11 m → N 80.857129°
W 32.255859°		 →
↑
194.12 m
↓
↑
194.12 m
↓
N 80.855384°
W 32.266846°		 ← 194.15 m →
37 686 m²		 N 80.855384°
W 32.255859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410385131835938 y=0.0979461669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410385131835938 × 215)
    floor (0.410385131835938 × 32768)
    floor (13447.5)     		tx = 13447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0979461669921875 × 215)
    floor (0.0979461669921875 × 32768)
    floor (3209.5)     		ty = 3209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13447 / 3209 ti = "15/13447/3209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13447/3209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13447 ÷ 215
    13447 ÷ 32768     		x = 0.410369873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3209 ÷ 215
    3209 ÷ 32768     		y = 0.097930908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410369873046875 × 2 - 1) × π
    -0.17926025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56316270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097930908203125 × 2 - 1) × π
    0.80413818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52627460997696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56316270} λ = -0.56316270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52627460997696))-π/2
    2×atan(12.5068264341886)-π/2
    2×1.49100972888479-π/2
    2.98201945776957-1.57079632675     		φ = 1.41122313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56316270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.266846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41122313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.857129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13447 KachelY 3209 -0.56316270 1.41122313 -32.266846 80.857129
    Oben rechts KachelX + 1 13448 KachelY 3209 -0.56297095 1.41122313 -32.255859 80.857129
    Unten links KachelX 13447 KachelY + 1 3210 -0.56316270 1.41119266 -32.266846 80.855384
    Unten rechts KachelX + 1 13448 KachelY + 1 3210 -0.56297095 1.41119266 -32.255859 80.855384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41122313-1.41119266) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dl = 194.12437000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41122313-1.41119266) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dr = 194.12437000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56316270--0.56297095) × cos(1.41122313) × R
    0.000191750000000046 × 0.158896840347548 × 6371000     		do = 194.114616869595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56316270--0.56297095) × cos(1.41119266) × R
    0.000191750000000046 × 0.158926923158251 × 6371000     		du = 194.1513672119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41122313)-sin(1.41119266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158896840347548-0.158926923158251)×R²
    abs(-0.56297095--0.56316270)×3.00828107028528e-05×R²
    0.000191750000000046×3.00828107028528e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.00828107028528e-05×40589641000000     		ar = 37685.9447789019m²