Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13446 / 5235
↖ ↑ ↗
← N 54.329338°
E115.444336°		 ← 1 424.74 m → N 54.329338°
E115.466309°		 →
↑
1 424.94 m
↓
↑
1 424.94 m
↓
N 54.316523°
E115.444336°		 ← 1 425.18 m →
2 030 479 m²		 N 54.316523°
E115.466309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820709228515625 y=0.319549560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820709228515625 × 214)
    floor (0.820709228515625 × 16384)
    floor (13446.5)     		tx = 13446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319549560546875 × 214)
    floor (0.319549560546875 × 16384)
    floor (5235.5)     		ty = 5235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13446 / 5235 ti = "14/13446/5235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13446/5235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13446 ÷ 214
    13446 ÷ 16384     		x = 0.8206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5235 ÷ 214
    5235 ÷ 16384     		y = 0.31951904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8206787109375 × 2 - 1) × π
    0.641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01488376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31951904296875 × 2 - 1) × π
    0.3609619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13399529741205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01488376} λ = 2.01488376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13399529741205))-π/2
    2×atan(3.108049308521)-π/2
    2×1.25951107807352-π/2
    2.51902215614703-1.57079632675     		φ = 0.94822583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01488376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.444336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94822583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.329338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13446 KachelY 5235 2.01488376 0.94822583 115.444336 54.329338
    Oben rechts KachelX + 1 13447 KachelY 5235 2.01526726 0.94822583 115.466309 54.329338
    Unten links KachelX 13446 KachelY + 1 5236 2.01488376 0.94800217 115.444336 54.316523
    Unten rechts KachelX + 1 13447 KachelY + 1 5236 2.01526726 0.94800217 115.466309 54.316523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94822583-0.94800217) × R
    0.00022366000000007 × 6371000     		dl = 1424.93786000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94822583-0.94800217) × R
    0.00022366000000007 × 6371000     		dr = 1424.93786000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01488376-2.01526726) × cos(0.94822583) × R
    0.00038349999999987 × 0.583125310617289 × 6371000     		do = 1424.73753423656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01488376-2.01526726) × cos(0.94800217) × R
    0.00038349999999987 × 0.583306993438132 × 6371000     		du = 1425.18143596655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94822583)-sin(0.94800217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583125310617289-0.583306993438132)×R²
    abs(2.01526726-2.01488376)×0.00018168282084241×R²
    0.00038349999999987×0.00018168282084241×6371000²
    0.00038349999999987×0.00018168282084241×40589641000000     		ar = 2030478.72775138m²