Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13446 / 12557
↖ ↑ ↗
← S 68.760277°
E115.444336°		 ← 885.13 m → S 68.760277°
E115.466309°		 →
↑
884.93 m
↓
↑
884.93 m
↓
S 68.768235°
E115.444336°		 ← 884.81 m →
783 139 m²		 S 68.768235°
E115.466309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820709228515625 y=0.766448974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820709228515625 × 214)
    floor (0.820709228515625 × 16384)
    floor (13446.5)     		tx = 13446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766448974609375 × 214)
    floor (0.766448974609375 × 16384)
    floor (12557.5)     		ty = 12557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13446 / 12557 ti = "14/13446/12557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13446/12557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13446 ÷ 214
    13446 ÷ 16384     		x = 0.8206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12557 ÷ 214
    12557 ÷ 16384     		y = 0.76641845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8206787109375 × 2 - 1) × π
    0.641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01488376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76641845703125 × 2 - 1) × π
    -0.5328369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67395653473236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01488376} λ = 2.01488376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67395653473236))-π/2
    2×atan(0.187503731069493)-π/2
    2×0.185351554347184-π/2
    0.370703108694368-1.57079632675     		φ = -1.20009322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01488376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.444336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20009322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.760277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13446 KachelY 12557 2.01488376 -1.20009322 115.444336 -68.760277
    Oben rechts KachelX + 1 13447 KachelY 12557 2.01526726 -1.20009322 115.466309 -68.760277
    Unten links KachelX 13446 KachelY + 1 12558 2.01488376 -1.20023212 115.444336 -68.768235
    Unten rechts KachelX + 1 13447 KachelY + 1 12558 2.01526726 -1.20023212 115.466309 -68.768235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20009322--1.20023212) × R
    0.000138899999999831 × 6371000     		dl = 884.931899998922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20009322--1.20023212) × R
    0.000138899999999831 × 6371000     		dr = 884.931899998922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01488376-2.01526726) × cos(-1.20009322) × R
    0.00038349999999987 × 0.362270868218767 × 6371000     		do = 885.128623494946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01488376-2.01526726) × cos(-1.20023212) × R
    0.00038349999999987 × 0.362141399804119 × 6371000     		du = 884.812296101009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20009322)-sin(-1.20023212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362270868218767-0.362141399804119)×R²
    abs(2.01526726-2.01488376)×0.000129468414647504×R²
    0.00038349999999987×0.000129468414647504×6371000²
    0.00038349999999987×0.000129468414647504×40589641000000     		ar = 783138.591691184m²