Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13444 / 6279
↖ ↑ ↗
← N 38.702659°
E115.400390°		 ← 1 906.74 m → N 38.702659°
E115.422363°		 →
↑
1 906.90 m
↓
↑
1 906.90 m
↓
N 38.685510°
E115.400390°		 ← 1 907.20 m →
3 636 402 m²		 N 38.685510°
E115.422363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820587158203125 y=0.383270263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820587158203125 × 214)
    floor (0.820587158203125 × 16384)
    floor (13444.5)     		tx = 13444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383270263671875 × 214)
    floor (0.383270263671875 × 16384)
    floor (6279.5)     		ty = 6279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13444 / 6279 ti = "14/13444/6279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13444/6279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13444 ÷ 214
    13444 ÷ 16384     		x = 0.820556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6279 ÷ 214
    6279 ÷ 16384     		y = 0.38323974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820556640625 × 2 - 1) × π
    0.64111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01411677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38323974609375 × 2 - 1) × π
    0.2335205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.733626311785339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01411677} λ = 2.01411677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.733626311785339))-π/2
    2×atan(2.08261915724175)-π/2
    2×1.12314258048373-π/2
    2.24628516096746-1.57079632675     		φ = 0.67548883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01411677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.400390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67548883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.702659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13444 KachelY 6279 2.01411677 0.67548883 115.400390 38.702659
    Oben rechts KachelX + 1 13445 KachelY 6279 2.01450027 0.67548883 115.422363 38.702659
    Unten links KachelX 13444 KachelY + 1 6280 2.01411677 0.67518952 115.400390 38.685510
    Unten rechts KachelX + 1 13445 KachelY + 1 6280 2.01450027 0.67518952 115.422363 38.685510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67548883-0.67518952) × R
    0.000299310000000053 × 6371000     		dl = 1906.90401000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67548883-0.67518952) × R
    0.000299310000000053 × 6371000     		dr = 1906.90401000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01411677-2.01450027) × cos(0.67548883) × R
    0.000383500000000314 × 0.780401389312454 × 6371000     		do = 1906.73793587881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01411677-2.01450027) × cos(0.67518952) × R
    0.000383500000000314 × 0.78058850657304 × 6371000     		du = 1907.19511545858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67548883)-sin(0.67518952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780401389312454-0.78058850657304)×R²
    abs(2.01450027-2.01411677)×0.000187117260585956×R²
    0.000383500000000314×0.000187117260585956×6371000²
    0.000383500000000314×0.000187117260585956×40589641000000     		ar = 3636402.14188248m²