Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13444 / 5972
↖ ↑ ↗
← N 43.771094°
E115.400390°		 ← 1 764.31 m → N 43.771094°
E115.422363°		 →
↑
1 764.51 m
↓
↑
1 764.51 m
↓
N 43.755225°
E115.400390°		 ← 1 764.78 m →
3 113 567 m²		 N 43.755225°
E115.422363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820587158203125 y=0.364532470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820587158203125 × 214)
    floor (0.820587158203125 × 16384)
    floor (13444.5)     		tx = 13444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364532470703125 × 214)
    floor (0.364532470703125 × 16384)
    floor (5972.5)     		ty = 5972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13444 / 5972 ti = "14/13444/5972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13444/5972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13444 ÷ 214
    13444 ÷ 16384     		x = 0.820556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5972 ÷ 214
    5972 ÷ 16384     		y = 0.364501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820556640625 × 2 - 1) × π
    0.64111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01411677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364501953125 × 2 - 1) × π
    0.27099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.851359337252197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01411677} λ = 2.01411677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851359337252197))-π/2
    2×atan(2.34282938362569)-π/2
    2×1.16737301554826-π/2
    2.33474603109651-1.57079632675     		φ = 0.76394970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01411677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.400390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76394970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.771094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13444 KachelY 5972 2.01411677 0.76394970 115.400390 43.771094
    Oben rechts KachelX + 1 13445 KachelY 5972 2.01450027 0.76394970 115.422363 43.771094
    Unten links KachelX 13444 KachelY + 1 5973 2.01411677 0.76367274 115.400390 43.755225
    Unten rechts KachelX + 1 13445 KachelY + 1 5973 2.01450027 0.76367274 115.422363 43.755225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76394970-0.76367274) × R
    0.000276959999999993 × 6371000     		dl = 1764.51215999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76394970-0.76367274) × R
    0.000276959999999993 × 6371000     		dr = 1764.51215999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01411677-2.01450027) × cos(0.76394970) × R
    0.000383500000000314 × 0.722109331023211 × 6371000     		do = 1764.31420313984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01411677-2.01450027) × cos(0.76367274) × R
    0.000383500000000314 × 0.722300898423067 × 6371000     		du = 1764.78225564921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76394970)-sin(0.76367274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722109331023211-0.722300898423067)×R²
    abs(2.01450027-2.01411677)×0.000191567399856596×R²
    0.000383500000000314×0.000191567399856596×6371000²
    0.000383500000000314×0.000191567399856596×40589641000000     		ar = 3113566.82757652m²