Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13444 / 5331
↖ ↑ ↗
← N 53.080828°
E115.400390°		 ← 1 467.65 m → N 53.080828°
E115.422363°		 →
↑
1 467.88 m
↓
↑
1 467.88 m
↓
N 53.067627°
E115.400390°		 ← 1 468.10 m →
2 154 658 m²		 N 53.067627°
E115.422363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820587158203125 y=0.325408935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820587158203125 × 214)
    floor (0.820587158203125 × 16384)
    floor (13444.5)     		tx = 13444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325408935546875 × 214)
    floor (0.325408935546875 × 16384)
    floor (5331.5)     		ty = 5331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13444 / 5331 ti = "14/13444/5331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13444/5331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13444 ÷ 214
    13444 ÷ 16384     		x = 0.820556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5331 ÷ 214
    5331 ÷ 16384     		y = 0.32537841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820556640625 × 2 - 1) × π
    0.64111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01411677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32537841796875 × 2 - 1) × π
    0.3492431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09717975850385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01411677} λ = 2.01411677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09717975850385))-π/2
    2×atan(2.99570548625186)-π/2
    2×1.24861576705075-π/2
    2.49723153410149-1.57079632675     		φ = 0.92643521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01411677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.400390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92643521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.080828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13444 KachelY 5331 2.01411677 0.92643521 115.400390 53.080828
    Oben rechts KachelX + 1 13445 KachelY 5331 2.01450027 0.92643521 115.422363 53.080828
    Unten links KachelX 13444 KachelY + 1 5332 2.01411677 0.92620481 115.400390 53.067627
    Unten rechts KachelX + 1 13445 KachelY + 1 5332 2.01450027 0.92620481 115.422363 53.067627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92643521-0.92620481) × R
    0.000230399999999964 × 6371000     		dl = 1467.87839999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92643521-0.92620481) × R
    0.000230399999999964 × 6371000     		dr = 1467.87839999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01411677-2.01450027) × cos(0.92643521) × R
    0.000383500000000314 × 0.600687784432365 × 6371000     		do = 1467.64754891743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01411677-2.01450027) × cos(0.92620481) × R
    0.000383500000000314 × 0.600871969531578 × 6371000     		du = 1468.09756441036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92643521)-sin(0.92620481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600687784432365-0.600871969531578)×R²
    abs(2.01450027-2.01411677)×0.000184185099212808×R²
    0.000383500000000314×0.000184185099212808×6371000²
    0.000383500000000314×0.000184185099212808×40589641000000     		ar = 2154658.42941131m²