Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13444 / 3452
↖ ↑ ↗
← N 80.423022°
W 32.299805°		 ← 203.25 m → N 80.423022°
W 32.288818°		 →
↑
203.23 m
↓
↑
203.23 m
↓
N 80.421194°
W 32.299805°		 ← 203.29 m →
41 311 m²		 N 80.421194°
W 32.288818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410293579101562 y=0.105361938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410293579101562 × 215)
    floor (0.410293579101562 × 32768)
    floor (13444.5)     		tx = 13444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105361938476562 × 215)
    floor (0.105361938476562 × 32768)
    floor (3452.5)     		ty = 3452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13444 / 3452 ti = "15/13444/3452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13444/3452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13444 ÷ 215
    13444 ÷ 32768     		x = 0.4102783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3452 ÷ 215
    3452 ÷ 32768     		y = 0.1053466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4102783203125 × 2 - 1) × π
    -0.179443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56373794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1053466796875 × 2 - 1) × π
    0.789306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47967994354626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56373794} λ = -0.56373794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47967994354626))-π/2
    2×atan(11.9374431506496)-π/2
    2×1.4872214232165-π/2
    2.974442846433-1.57079632675     		φ = 1.40364652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56373794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.299805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40364652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.423022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13444 KachelY 3452 -0.56373794 1.40364652 -32.299805 80.423022
    Oben rechts KachelX + 1 13445 KachelY 3452 -0.56354619 1.40364652 -32.288818 80.423022
    Unten links KachelX 13444 KachelY + 1 3453 -0.56373794 1.40361462 -32.299805 80.421194
    Unten rechts KachelX + 1 13445 KachelY + 1 3453 -0.56354619 1.40361462 -32.288818 80.421194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40364652-1.40361462) × R
    3.18999999999736e-05 × 6371000     		dl = 203.234899999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40364652-1.40361462) × R
    3.18999999999736e-05 × 6371000     		dr = 203.234899999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56373794--0.56354619) × cos(1.40364652) × R
    0.000191750000000046 × 0.166372558680129 × 6371000     		do = 203.247247806623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56373794--0.56354619) × cos(1.40361462) × R
    0.000191750000000046 × 0.166404014004068 × 6371000     		du = 203.285674864969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40364652)-sin(1.40361462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166372558680129-0.166404014004068)×R²
    abs(-0.56354619--0.56373794)×3.14553239394721e-05×R²
    0.000191750000000046×3.14553239394721e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.14553239394721e-05×40589641000000     		ar = 41310.8389466084m²